Este trabalho tem dois objetivos principais. O primeiro diz respeito à oscilação de soluções de equações diferenciais ordinárias generalizadas em que as funções envolvidas assumem valores em um espaço de Banach qualquer. Para este fim, introduzimos a definição de processos de evolução regrados. O segundo objetivo é tratar do comportamento periódico de soluções desta classe de equações generalizadas. Apresentamos resultados que garantem a existência e unicidade de soluções periódicas e provamos um teorema do tipo Floquet para EDOs generalizadas lineares. O ganho de se obter resultados sobre oscilações e periodicidade para EDOs e outros tipos de equações a partir das EDOs generalizadas está no fato de que, para as últimas, as funções envolvidas podem ter muitas descontinuidades e/ou podem não ser de variação limitada, já que se trata de uma equação que envolve a integral não-absoluta de Kurzweil-Henstock. Um exemplo típico de uma função que pode estar envolvida em EDO tratada via EDOs generalizadas é a função de variação ilimitada f (t) = F (t), em que F : [0;1] → R, com F(t) = t² sen½_t , para 0 < t ≤ 1, e F(0) = 0. Esta é uma função que não é Riemann nem Lebesgue integrável, mas é Kurzweil-Henstock integrável. Os resultados obtidos nesta tese deram origem a quatro artigos científicos, a saber (i) Oscillation and nonoscillation criteria for impulsive delay differential equations with Perron integrable coefficientes. (Aceito para a publicação na revista Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Veja (AP. SILVA; FEDERSON; GADOTTI, 2021)); (ii) Oscillatory solutions of measure differential equations with several delays and generalized ODEs. (Submetido para a publicação. Veja (AP. SILVA; FEDERSON, 2021)); (iii) On periodic solutions of abstract generalized ODEs and applications to measure differential equations. (Submetido para a publicação. Veja (AP. SILVA et al., 2021)); (iv) Oscillation theory for regulated linear semigroups and regulated linear processes with application to generalized ODEs. (Preprint, 2021. Veja (AP. SILVA; BONOTTO; FEDERSON, 2021)); e a um capítulo no livro Generalized Ordinary Differential Equations in Abstract Spaces, Wiley, Hoboken, NJ, 2021. Veja (BONOTTO; FEDERSON; MESQUITA, 2021).

This work has two main objectives. The first concerns the oscillation of solutions of generalized ordinary differential equations in which the functions involved assume values in an arbitrary Banach space. For this purpose, we introduce the definition of regulated evolution processes. The second objective is to deal with the periodic behavior of solutions in this class of generalized equations. We present results that guarantee the existence and uniqueness of periodic solutions and we prove a Floquet-type theorem for linear generalized ODEs. The gain of getting results on oscillations and periodicity for ODEs and other types of equations from the generalized ODEs lies on the fact that, for the latter, the functions involved may have many discontinuities and/or may not be of bounded variation, since it is an equation involving the non-absolute integral of Kurzweil-Henstock. A typical example of a function which is neither Riemann nor Lebesgue integrable, but it is Kurzweil-Henstock integrable is the function of unbounded variation f (t) = F (t), where F : [0;1] → R, with F(t) = t² sin½_t, for 0 < t ≤1, and F(0) = 0. The results obtained in this thesis gave rise to four scientific articles, namely (i) Oscillation and nonoscillation criteria for impulsive delay differential equations with Perron integrable coefficientes. (Accepted for publication in the journal Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. See (AP. SILVA; FEDERSON; GADOTTI, 2021)); (ii) Oscillatory solutions of measure differential equations with several delays and generalized ODEs. (Submitted for publication. See (AP. SILVA; FEDERSON, 2021)); (iii) On periodic solutions of abstract generalized ODEs and applications to measure differential equations. (Submitted for publication. See (AP. SILVA et al., 2021)); (iv) Oscillation theory in generalized ODEs in Banach spaces. (Preprint, 2021. See (AP. SILVA; BONOTTO; FEDERSON, 2021)); and to a chapter in the book Generalized Ordinary Differential Equations in Abstract Spaces, Wiley, Hoboken, NJ, 2021. See (BONOTTO; FEDERSON; MESQUITA, 2021).