Esta dissertação esta dividida em duas partes, ambas relacionados ao problema do foco centro e a ciclicidade em sistemas diferenciais planares, temas que pretendemos investigar em futuro próximo. Na primeira parte, a existência de uma integral primeira Darbouxiana em sistemas diferenciais polinomiais planares é investigada. O estudo realizado foi aplicado em um exemplo retirado da classificação dos sistema quadráticos com elipse invariantes. Na segunda parte da dissertação, investigamos a existência de ciclos limites no sistema diferencial de Rayleigh generalizado. Em (LINS; MELO; PUGH, 1977) os autores afirmam que este sistema possui um único ciclo limite. No entanto a prova apresentada por eles traz algumas falhas. Neste texto apresentamos uma prova completa e correta da existência e unicidade de ciclo limite para esta classe de sistemas.

This dissertation is divided in two parts, both of them are related with the center problem and the ciclicity in planar differential systems, subjects that we intent to investigate in short term. In the first part of this dissertation, the existence of a Darboux first integral in planar polynomial differential systems is investigated. Such study is applied in an example took from the classification of quadratic systems with invariant ellipses. In the second part of this dissertation, we investigate the existence of limit cycles in the generalized Rayleigh systems. In (LINS; MELO; PUGH, 1977) the authors stated that such system has a unique limit cycle. But the proof has some gaps. In this work we present a complete and correct proof of the existence and uniqueness of limit cycle for such class of systems.