Esse trabalho é uma apresentação sobre a geometria da informação, organizando-se como um compilado de conceitos e resultados fundamentais da área, bem como aplicações em teoria de informação quântica. Dito isso, é possível apresentar a geometria da informação entendendo-a como a área que se utiliza de ferramentas da geometria diferencial, em especial da geometria riemanniana, para resolver problemas advindos da estatística. Possuindo um caráter interdisciplinar que transpassa seu desenvolvimento histórico, ela interpreta modelos estatísticos como variedades diferenciáveis, munindo-os de uma métrica riemanniana e de um campo tensorial 3-covariante, chamados, respectivamente de métrica de Fisher e de tensor de Amari-Chentsov. No contexto de geometria da informação finita, eles são os únicos campos tensoriais covariantes de rank 3 invariantes por morfismos de Markov induzidos por núcleos de Markov congruentes. Além disso, dentre as famílias de distribuições de probabilidade, aquela constituída pelas distribuições gaussianas apresenta uma métrica de Fisher com um formato conhecido e, consequentemente, uma geometria familiar, sendo essa a geometria hiperbólica bidimensional. Ademais, os modelos estatísticos podem ser munidos de uma família uniparamétrica de conexões, chamadas de α-conexões, dentre as quais se destacam, especialmente no contexto finito, a conexão mistura e a exponencial. Já partindo de uma variedade munida de uma métrica riemanniana g e de um tensor 3-simétrico T, é possível induzir um par de conexões lineares livres de torção nela e que se relacionam através de um enfraquecimento da noção de compatibilidade com a métrica, chamadas de conexões duais uma a outra em relação a g. Elas, por sua vez, junto à métrica riemanniana, induzem um tensor 3-simétrico na variedade. Então, por meio do estudo dessas conexões, tem-se que a geometria que emerge da combinação de uma métrica riemanniana g com duas conexões planas ∇ e ∇^* duais uma a outra em relação a g é equivalente, ao menos localmente, a uma única função convexa, onde essa convexidade é considerada em relação a um sistema de coordenadas afim para uma das conexões duais. Outrossim, podendo ser aplicada à teoria de informação quântica a fim de se obter limites de velocidade quânticos geométricos, a geometria da informação conduz a generalizações do princípio de incerteza para a energia e o tempo em sistemas quânticos, em que o análogo quântico da métrica de Fisher clássica produz tais limites.

This paper is a presentation on information geometry, organized as a compilation of fundamental concepts and results of the area, as well as applications in quantum information theory. Nevertheless, it is possible to present the information geometry by regarding it as the area that uses tools from differential geometry, especially from Riemannian geometry, to solve problems arising from statistics. Possessing an interdisciplinary character that permeates its historical development, it interprets statistical models as differentiable manifolds, providing them with a Riemannian metric and a 3-covariant tensor field, called, respectively, Fisher metric and Amari-Chentsov tensor. In the context of finite information geometry, they are the only covariant tensor fields of rank 3 invariant by Markov morphisms induced by congruent Markov kernels. Furthermore, among the families of probability distributions, the one formed by the Gaussian distributions has Fisher metric with a known structure and, consequently, a familiar geometry, which is the two-dimensional hyperbolic geometry. In addition, statistical models can be equipped with a uniparametric family of connections, called α-connections, among which, especially in the finite context, the mixed connection and the exponential connection stand out. Moreover, starting with a manifold equipped with a Riemannian metric g and a 3-symmetric tensor T, it is possible to induce a pair of torsion-free linear connections on it and that are related by a weakening of the notion of compatibility with the metric; that are called dual connections to each other with respect to g. They, in turn, together with the Riemannian metric, induce a 3-symmetric tensor on the manifold. Then, through the study of these connections, the geometry that emerges from the combination of a Riemannian metric g with two flat connections ∇ and ∇^* dual to each other with respect to g is equivalent, at least locally, to a single convex function, where this convexity is considered with respect to an affine coordinate system for one of the dual connections. Furthermore, being able to be applied to quantum information theory in order to obtain geometric quantum speed limits, information geometry leads to generalizations of the uncertainty principle for energy and time in quantum systems, where the quantum analog of the metric of classical Fisher produces such limits.