Dissertação de Mestrado

Este projeto tem como objetivo principal o entendimento das três primeiras seções do artigo de O. Musin: Multivariate positive definite functions on spheres. Discrete geometry and algebraic combinatorics. Amer. Math. Soc., Providence, 2014 (MUSIN, 2014), as quais focam em: estabelecer extensões dos polinômios de Gegenbauer clássicos, para polinômios de várias variáveis, obter resultados similares aos dos polinômios clássicos para estes polinômios multivariados e introduzir uma nova classe de funções definidas positivas em esferas reais, obtendo uma caracterização para funções nesta classe. Esta nova classe pode ser vista como uma extensão da classe de funções definidas positivas em esferas reais que foi caracterizada por I.J. Schoenberg em Positive definite functions on spheres. Duke Math. J., v. 9, p. 96108, 1942 (SCHOENBERG, 1942). Com este objetivo em mente, é de fundamental importância conhecer os resultados clássicos. Assim, este texto traz uma sólida base da teoria clássica a qual será necessária para a compreensão dos conceitos utilizados ao longo do artigo de Musin, permitindo assim que o leitor acompanhe o detalhamento dos resultados apresentados. A dissertação está dividida em quatro partes: no primeiro capítulo apresentamos uma breve introdução. No segundo capítulo introduzimos os harmônicos esféricos e os polinômios de Gegenbauer clássicos. No terceiro capítulo apresentamos a teoria básica de núcleos definidos positivos, funções definidas positivas em esferas reais e sua caracterização dada pelo célebre Teorema de Schoenberg. E no quarto capítulo apresentamos os resultados acima mencionados que foram obtidos por Musin.

This project has the main purpose of understanding the first three sections of the paper by O. Musin: Multivariate positive definite functions on spheres. Discrete geometry and algebraic combinatorics. Amer. Math. Soc., Providence, 2014 (MUSIN, 2014), which focus on: establishing an extension for multivariate polynomials of the classical Gegenbauer polynomials, obtaining results similar to those related to the classical polynomials for such multivariate polynomials and introducing a new class of positive definite functions in real spheres, obtaining a characterization of the functions in this class. This new class can be seen as an extension of the class of positive definite functions on real spheres which was characterized by I.J. Schoenberg in Positive definite functions on spheres. Duke Math. J., v. 9, p. 96108, 1942 (SCHOENBERG, 1942). With this purpose in mind, it is fundamental to know the classical results. Therefore, this text brings a foundation of the classical theory, which will be necessary for the understanding of the concepts used throughout the paper by Musin, allowing the reader to follow the details of the presented results. The work is divided in four parts: in the first chapter we present a brief introduction. In the second chapter we introduce the spherical harmonics and the classical Gegenbauer polynomials. In the third chapter we present the basic theory on positive definite kernels, positive definite functions on real spheres and their characterization given by the celebrated Schoenberg Theorem. And in the fourth chapter we present the above mentioned results obtained by Musin.