The long-run aim of this thesis is to solve delay differential equations with infinite delay of the type
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}$u(t) = Au(t) + ∫^t_-∞ u(s)k(t - s)ds+ f (t, u(t)),
on Fréchet spaces under an extended theory of groups of linear operators; where A is a linear operator, k(s) ≥ 0 satisfies ∫^∞₀ k(s)ds = 1 and f is a nonlinear map. In order to pursue such a goal we study a discrete delay model which explains the natural economic fluctuations considering how economic stability is affected by the role of the fiscal and monetary policies and a possible government inefficiency concerning its fiscal policy decision-making. On the other hand, we start to develop such an extended theory by considering linear Cauchy problems associated to a continuous linear operator on Fréchet spaces, for which we establish necessary and sufficient conditions for generation of a uniformly continuous group which provides the unique solution. Further consequences arises by considering pseudodifferential operators with constant coefficients defined on a particular Fréchet space of distributions, namely FL²_loc, and special attention is given to the distributional solution of the heat equation on FL²_loc for all time, which extends the standard solution on Hilbert spaces for positive time.

O objetivo a longo prazo desta tese é resolver equações diferenciais da forma
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}$u(t) = Au(t) + ∫^t_-∞ u(s)k(t - s)ds+ f (t, u(t)),
em espaços de Fréchet estendendo a teoria de grupos de operadores lineares; sendo A um operador linear, k(s) ≥ 0 tal que ∫^∞₀ k(s)ds = 1 e f uma função não linear. Perseguindo tal fim, estudamos um modelo com retardo que explica as flutuações naturais da economia considerando como a estabilidade econômica é afetada pela atuação do governo, suas políticas fiscal e monetária e uma possível ineficiência do governo no que diz respeito à sua tomada de decisão na política fiscal. Por outro lado, damos início a referida extensão da teoria de grupos ao considerar problemas de Cauchy lineares associados a operadores lineares contínuos em espaços de Fréchet, para os quais estabelecemos condições necessárias e suficientes para a geração de um grupo uniformemente contínuo em tal espaço que fornece a única solução do problema. Consequências adicionais surgem quando se considera operadores pseudodiferenciais com coeficientes constantes definidos em um particular espaço de Fréchet de distribuições, a saber FL²_loc, e uma atenção especial é dada à solução distribucional da equação do calor em FL²_loc para todo tempo, a qual estende a solução usual em espaços de Hilbert para tempo positivo.