We study emergent oscillatory behaviour in networks of diffusively coupled nonlinear ordinary differential equations. Starting from a situation where the isolated dynamics at each node are the same and possess a globally attractive equilibrium point. Recent research has shown that general networks can present periodic oscillations due to diffusive coupling under mild conditions in the isolated vector field. In this thesis, we provide conditions on the isolated vector field and the underlying graph such that the network has a center manifold and we show that the reduced vector field has nonvanishing Taylor coefficients whenever the original vector field is generic. Moreover, we show that when the dimension of the isolated vector field is at least four its is possible to find positive-definite matrices serving as couplings such that the network has a nilpotent singularity which corresponds to the existence of a three-dimensional center manifold. As a consequence, the network will present a chaotic behaviour.

Estudamos o comportamento oscilatório emergente em redes de equações diferenciais ordinárias não lineares difusivamente acopladas. Partindo de uma situação em que as dinâmicas isoladas em cada nó são as mesmas e possuem um ponto de equilíbrio globalmente atrativo. Pesquisas recentes mostraram que redes gerais podem apresentar oscilações periódicas devido ao acoplamento difusivo sob condições brandas no campo vetorial isolado. Nesta tese, fornecemos condições no campo vetorial isolado e no grafo correspondente tais que a rede tenha uma variedade central e mostramos que o campo vetorial reduzido tem coeficientes de Taylor não nulos sempre que o campo vetorial original é genérico. Além disso, mostramos que quando a dimensão do campo vetorial isolado é de pelo menos quatro é possível encontrar matrizes positivas-definidas servindo como acoplamentos de forma que a rede tenha uma singularidade nilpotente que corresponde à existência de uma variedade central tridimensional. Como consequência, a rede apresentará um comportamento caótico.