In this thesis, we study hyperbolicity for deterministic and random nonautonomous dynamical systems and their applications to differential equations. More precisely, we present results for the following topics: nonuniform hyperbolicity for evolution processes and hyperbolicity for nonautonomous random dynamical systems. Concerning the first one, we study the robustness of the nonuniform exponential dichotomy for continuous and discrete evolution processes. We present an example of an infinite-dimensional differential equation that admits a nonuniform exponential dichotomy and apply the robustness result. Moreover, we study the persistence of nonuniform hyperbolic solutions in semilinear differential equations. Furthermore, we introduce a new concept of nonuniform exponential dichotomy, provide examples, and prove a stability result under perturbations for it. For the second topic, we introduce exponential dichotomies for random and nonautonomous dynamical systems. We prove a robustness result for this notion of hyperbolicity and study its applications to random and nonautonomous differential equations. Among these applications, we study the existence and continuity of random hyperbolic solutions and their associated unstable manifolds. As a consequence, we obtain continuity and topological structural stability for nonautonomous random attractors.

Nesta tese, estudamos hiperbolicidade para sistemas dinâmicos não autonomos determínisticos e aleatórios e suas aplicações a equações diferencias. Mais precisamente, apresentamos resultados nos seguintes tópicos: hiperbolicidade não uniforme para processos de evolução e hiperbolicidade para sistemas dinâmicos aleatórios não autônomos. No primiero tópico, estudamos robusteza da dicotomia exponencial não uniforme para processos de evolução contínuous e discretos. Apresentamos uma de equação diferencial em dimensão infinita que admite uma dicotomia exponencial não uniforme e aplicamos o teorema de robusteza. Ademais, estudamos a persistência de soluções hiperbólicas não uniformes em equações diferencias semilineares. Além disso, introduzimos um novo conceito de dicotomia exponencial não uniforme, fornecemos exemplos e provamos um teorema estabilidade sob perturbações. Na segundo tópico introduzimos dicotomias exponencias para sistemas dinâmicos aleatórios e não autônomos. Provamos um resultado de robusteza para essa noção de hiperbolicidade e estudamos suas aplicações a equações diferencias aleatórias e não autônomas. Entre essas aplicações estudamos existência e continuidade de soluções hiperbólicas aleatórias e suas variedades instaveis associadas. Como consequência obtemos continuidade e estabilidade estrutural topológica para atratores aleatórios não autônomos.