Neste trabalho definimos um invariante cohomológico E(G,S , M) onde G é um grupo, S = {S_i}i∈l é uma família de subgrupos de G de índice infinito e M é um Z₂G-módulo. O caso onde S = {S} é investigado. Verificamos que E(G, {S}, M) têm uma interpretação em termos de derivações e derivações principais, e deste modo em certos casos a computação deste invariante é possível. Também apresentamos uma interpretação topológica para E(G, S, M ) em termos de cohomologia relativa de complexos (X, Y) se (X, Y) é um par Eilenberg-MacLane realizando (G, S). Este invariante está intimamente relacionado com o end clássico e(G) para um grupo G, e os ends e(G, S) e ê(G,S) para um par grupo (G, S). Denotamos E(G, {S}, Z₂(G/S)) e E(G, {S}, Z₂ ⊗Z_2S PS) por E(G, S) e Ê(G, S) respectivamente. Temos que E(G, {1}) = Ê(G, {1}) = ê(G) e em alguns casos E(G, S) = e(G, S) e Ê(G, S) = ê(G, S). Entretanto damos exemplos onde eles são distintos. Alguns resultados são obtidos no caso onde G e S têm certas propriedades de dualidade. Relacionamos Ê(G, S) com decomposições de grupos tais como HNN-extensões e produto livre amalgamado.

In this work we define a cohomological invariant E(G, S, M) where G is a group, S = i∈l is a family of infinite index subgroups of G and M a Z₂G-module. The case where S = is investigated. We verify that E(G, M) has a interpretation in terms of derivations and principal derivations, and so in certain cases computation is available. Also we give a topological interpretation for E(G, M) in terms of relative cohomology of complexes (X, Y) if (X, Y) is a Eilenberg-MacLane pair realizing (G, S). This invarant is closely related to the classical end ∈(G) for a group G, and the ends e(G, S), ê(G, S) for a group pair. We denote E(G, {S}, Z₂(G / S)) and E(G, {S}, Z₂G ⊗Z_2S PS) by E(G, S) and Ê(G. S) respectively. We have that E(G, {1}) = Ê(G, {1}) = e(G) and in some cases E(G ,S) = e(G, S) and Ê(G, S) = ê(G, S). However we give examples where they are distinct. Some results are obtained in the case where G and S have certain property of duality. We relate Ê(G, S) with decomposition of groups like HNN-extensions and free amalgamated product.