Neste trabalho, levantamos os diferentes níveis de invariantes operatórios envolvendo o conteúdo de álgebra, manifestados pelos estudantes dos anos finais do Ensino Fundamental, apoiando-se na teoria psicocognitiva proposta por Gérard Vergnaud (1990; 2009; 2014). Para tal efeito, desenvolvemos um estudo qualitativo, conduzido por meio de duas fases (piloto e final), no qual elaboramos atividades envolvendo cinco tipos de habilidades: percepção, generalização de conceitos matemáticos, reversibilidade do processo mental, raciocínio lógico e tipos de habilidades matemáticas, baseadas nos trabalhos desenvolvidos por Krutetskii (1976). Na primeira fase, aplicamos o estudo para 32 alunos do oitavo ano do Ensino Fundamental, de uma escola pública estadual, na região metropolitana de São Paulo, e analisamos as respostas dos estudantes com o apoio teórico-metodológico dos Modelos Organizadores do Pensamento (MORENO et al., 2000), organizando as respostas dos estudantes em perguntas-modelo. Por meio da análise dessas perguntas-modelo, selecionamos nove estudantes, separados em três grupos distintos, de acordo com o nível de habilidade apresentado no estudo piloto, para compor a fase final do estudo. No Grupo 1, elegemos estudantes que apresentaram razoável desempenho no estudo preliminar, ainda com algumas dificuldades. O Grupo 2 foi composto por alunos que demonstraram muitos obstáculos, não só no conteúdo matemático como em habilidades essenciais para a compreensão daquele, tais como a leitura e interpretação de textos. Finalmente, no Grupo 3, escolhemos os estudantes que evidenciaram aspectos emocionais envolvidos em sua dificuldade de aprendizagem em Matemática e aplicamos atividades que não estejam ligados diretamente com conteúdos matemáticos, para avaliar outros aspectos que podem influenciar em suas dificuldades com a disciplina. Também conduzimos, com cada um desses grupos, uma entrevista semiestruturada após a realização das atividades por escrito. Tal diálogo permitiu levantar elementos que ficaram pouco evidentes em suas resoluções, auxiliando-nos no mapeamento das concepções dos estudantes sobre os conceitos de álgebra e, assim, associar os possíveis invariantes operatórios, de acordo com o modelo encontrado em suas resoluções. Por meio dessas análises, foi possível revelar que o nível e o tipo de representação do invariante operatório podem variar, dentro de um mesmo grupo, e até mesmo apresentar semelhanças entre grupos com habilidades diferentes. Desse modo, os resultados apontam que uma aparente resolução correta pode ainda esconder outras dificuldades de compreensão formal sobre o conceito e, por outro lado, o tipo de abordagem didática pode influenciar diretamente nos obstáculos e bloqueios emocionais em seus estudantes, em relação ao conteúdo algébrico.

In this work, we raised different levels of operational invariants involving algebraic content, manifested by students of final years of middle school (equivalent to 8th to 9th grade of K-12), relying on the cognitive theory proposed by Gérard Vergnaud (1990; 2009; 2014). For this extent, we developed a qualitative research, conducted in two stages (pilot and final), which we elaborated some activities involving five types of abilities: perception, generalization of mathematical concepts, reversibility of mental process, logical reasoning and some types of mathematical abilities, based on works developed by Krutetskii (1976). At the first stage, we applied a study for 32 students of 8th grade (K-12), from a public state school, in the metropolitan area of Sao Paulo, and we analyzed solutions of the students supported by Organizing Models of Thinking (MORENO et al., 2000), a theoretical and methodological framework, organizing solutions of the students in question-models. By means of the analysis of those question-models, we selected nine students, separated in three distinct groups, according to the level of ability showed on the pilot study, to compose the final stage of the study. On Group 1, we selected some students who presented a reasonable performance at preliminary study, although some difficulties could be seen. Group 2 was composed of students who demonstrated many obstacles, not only on mathematical contents but also in essential abilities to comprehend Mathematics, for instance, reading and understanding. Finally, on Group 3, we chose students who clearly showed some emotional aspects involving their difficulties in the learning of Mathematics and applied activities which are not involved to mathematical contents, to evaluate other issues influencing on their difficulties with that subject. Furthermore, we conducted a semi-structured interview with each group after the application of the written activities. Such dialogue allowed us to raise elements which were not clear on their solutions, helping us to make a map of conceptions of the students about algebraic ideas and, thus, to associate with some possible operational invariants, according to the model found on their solutions. According to those analyses, we could reveal that the level and type of operational invariant can vary, in the same group, and even show similarities between groups with different abilities. Consequently, the results indicate that an apparent correct solution could hide some difficulties in understanding of formal concepts, in addition to that, the didactical approach can straightly influence to some obstacles and emotional blockage on the students, in relation to algebraic contents.