Dissertação de Mestrado

Apresentamos uma metodologia prática e geral para a aproximação de funções de uma variável real ou complexa. A metodologia utiliza otimização linear e não linear, aritmética de precisão arbitrária e aritmética intervalar. Baseia-se na aproximação de funções por meio de combinações lineares de funções-base, como os tradicionais polinômios ou funções trigonométricas. Com as técnicas descritas, determinamos aproximações ótimas para a função alvo na classe de funções-base escolhida. Além disso, nossa técnica fornece limites superiores rigorosos para o erro e demonstra que a aproximação obtida é, de fato, a melhor possível. No caso real, a metodologia permite determinar a melhor aproximação inferior ou superior da função alvo na classe dada. Ou seja, dada uma função f obtemos uma aproximação a(x) dentro da classe escolhida, de modo que a(x) \\leq f(x) para todo x relevante e o erro f(x) - a(x) seja o menor possível. Essa propriedade é particularmente importante em aplicações práticas onde desejamos obter limites inferiores e superiores rigorosos para f, como é necessário, por exemplo, na implementação de aritmética intervalar. No caso complexo, é possível determinar limites inferiores e superiores para as partes real e imaginária de f.

We present a general practical methodology for approximating functions of a real or complex variable. The methodology employs linear and nonlinear optimization, arbitrary-precision arithmetic, and interval arithmetic. It is based on approximating functions through linear combinations of basis functions, such as traditional polynomials or trigonometric functions. Using the techniques mentioned above, we find optimal approximations for the target function within the chosen class of basis functions. In addition to the approximation itself, our technique also provides rigorous upper bounds on the error and proves that the obtained approximation is indeed the best possible. In the real case, the methodology allows for obtaining the best lower or upper approximation of the target function within the given class. That is, given a function \\(f\\), we obtain an approximation \\(a(x)\\) in the target class such that \\(a(x) \\leq f(x)\\) for all relevant \\(x\\) and such that the error \\(f(x) - a(x)\\) is as small as possible. This property is practically important when we aim to obtain rigorous lower and upper bounds for \\(f\\), as required, for instance, in the implementation of interval arithmetic. In the complex case, we can obtain lower and upper bounds for the real and imaginary parts of \\(f\\).