Um resultado de Erdos demonstra a existência de grafos com número cromático e cintura arbitrariamente grandes. Temos então que um clique suficientemente grande contém um grafo com número cromático e cintura grandes como subgrafo, porém muitos grafos de interesse não necessariamente contém cliques grandes, então é interessante encontrar outra condição que garanta a existência de subgrafos com número cromático e cintura grandes. Uma conjectura de Erdos e Hajnal diz que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo com número cromático e cintura grandes. O objetivo deste trabalho é estudar tal conjectura. O texto começa com uma breve apresentação de construções livres de triângulos. Em particular, é demonstrada uma construção de Codenotti, Pudlák e Resta, por meio de planos projetivos. O tópico principal do texto começa com uma demonstração de Rödl de que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo livre de triângulos e com número cromático grande. Em sequência, apresentaremos uma demonstração de que grafos com número cromático suficientemente grande contém algum circuito ímpar grande. Apresentaremos também um resultado de Mohar e Wu, que demonstra que a família dos grafos de Kneser respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. Outro resultado apresentado é de Gábor Tardos, demonstrando que a família dos shift graphs respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. E por fim apresentaremos alguns breves resultados sobre os type graphs, mostrando casos que respeitam a conjectura de Erdos e Hajnal.

A result by Erdos shows that there exist graphs with arbitrarily large chromatic number and girth. Thus a sufficiently large clique contains a subgraph with large chromatic number and girth, but many graphs do not have a large clique, hence it is interesting to find a different condition that guarantees the existence of a subgraph with large chromatic number and girth. A conjecture by Erdos and Hajnal states that every graph with sufficiently large chromatic number contains a subgraph with large chromatic number and girth. The objective of this text is to study this conjecture. The text begins with a brief discussion of triangle-free constructions. In particular, we show a construction by Codenotti, Pudlák and Resta, based on projective planes. The main topic begins with a proof by Rödl, that every graph with sufficiently large chromatic number contains a triangle-free subgraph with large chromatic number. We follow with a proof that every graph with sufficiently large chromatic number contains a large odd cycle. We then show a result by Mohar and Wu, which shows that the Kneser graphs respect the Erdos-Hajnal conjecture. Another result by Gábor Tardos proves that shift graphs also respect the Erdos-Hajnal conjecture. Finally, we show some brief results about type graphs, showing some cases that follow the Erdos-Hajnal conjecture.