Dissertação de Mestrado

Solid angles are higher-dimensional analogues of traditional, two-dimensional angles. They represent the same fundamental concept of how much of space is encompassed by a polyhedral cone. This generalization is useful in order to study geometric cones and polytopes in higher dimensions. Calculating these quantities in dimensions two and three is straightforward, due to known closed formulas in terms of the extremal vectors of the cone. However, for dimension four and greater, no nite numerical formula is known. This thesis is devoted to analyzing solid angles and computing them in dimensions greater than three. We present two new proofs of upper and lower bounds for solid angles of polyhedral cones based on their extremal vectors and the spectrum of their de ning matrix. One of these novel proofs explores the connection between Discrete Geometry and Theta Functions, a classic concept in Number Theory, Physics and Partial Di erential Equations, while the other is more combinatorial in nature. The fact that two new proofs of a known bound, with di erent approaches from one another, converge to the same result indicates that perhaps no better bound can be found. Onthe computational side, we discuss approximation methods for high dimensional angles based on hypergeometric series and on probability. We empirically analyze their performance and compare them. Furthermore, we describe the implementation of a Python package implementing these algorithms, the rst such open source package.

Angulos solidos sao os analogos em dimensoes altas dos angulos tradicionais em duas dimensoes. Eles representam o mesmo conceito fundamental de quanto do espaco e abrangido por um cone poliedrico. Tal generalizacao e util para o estudar cones e politopos em dimensoes superiores a 3. Calcular essas medidas nas dimensoes dois e tres e simples, uma vez que sao conhecidas formulas em termos dos vetores compondo o angulo. Contudo, para dimensao 4 e superior, nao e conhecida uma formula numerica nita para angulos solidos. Esta tese e dedicada a analizer angulos solidos e computa-los explicitamente em dimensoes superiores a tres. Apresentamos tambem duas novas provas para cotas superiores e inferiores para um angulo solido de um cone poliedrico basedo em seus vetores extremais e no espectro de sua matriz geradora. Uma delas explora a conexao entrea a Geometria Discreta e Funcoes Teta, um conceito classico da Teoria dos Numeros, Física e Equacoes Diferenciais Parciais. O fato de duas novas provas de cotas conhecidas terem sido encontradas usando metodos diferentes indica que talvez nao seja possível encontrar resultados melhores. Ja computacionalmente, nós discutimos dois metodos para aproximar angulos em altas dimensoes: um baseado em uma serie hipergeometrica, outro baseado em probabilidade. Alem disso, discrevemos a implementacao de um pacote Python de codigo aberto que implementa esses algoritmos e discutimos dados empíricos de desempenho.