This thesis is about efficient shape optimization methods for the reconstruction of sharp interfaces in the problems of electrical impedance tomography (EIT) and geophysical exploration by full waveform inversion (FWI). These two problems differ experimentally. In summary, electrical impedance tomography is a method of imaging the internal structure of an unknown physical body by applying electrical currents near the surface of the body. Seismic tomography, on the other hand, is a technique to determine the material structure of the earths subsoil based on recorded seismic signals produced by waves excited by some source and propagated through the ground. The objective here is to contribute with theoretical and practical aspects of shape optimization, electrical impedance tomography, and full waveform inversion. In particular, we study the averaged adjoint method, which can handle additional constraints, such as admitting discontinuities in material parameters, depending on the specific configurations of the function spaces. For that, results about the differentiability of the operator with respect to the shape are established, and a shape optimization algorithm that uses the average adjoint method is proposed. Furthermore, we use some ideas from classical optimization theory and employ a linear search procedure to improve the reconstruction of shape interfaces. Additionally, we use our version of the level set method to efficiently calculate evolving interfaces. Numerical results are presented for the inverse problems in electrical impedance tomography for point measurements in discontinuous boundary, and in geophysical exploration on reservoir scale in the solid domain, containing salt bodies for reconstruction of sharp interfaces in time-domain full waveform inversion. As part of this thesis, two implementations of shape optimization that depend on the calculation of the shape derivative of the cost function, used in the level set method, were developed.

Esta tese é sobre métodos eficientes de otimização de forma para a reconstrução de interfaces nítidas nos problemas da tomografia de impedância elétrica (sigla em inglês EIT) e da exploração geofísica pela inversão da forma da onda completa (singla em inglês FWI). Esses dois problemas diferem experimentalmente. Em resumo, a tomografia de impedância elétrica é um método de geração de imagens da estrutura interna de um corpo físico desconhecido, pela aplicação de correntes elétricas nas proximidades da superfície do corpo. Já a tomografia sísmica, é uma técnica para determinar a estrutura material do subsolo terrestre com base nos sinais sísmicos gravados produzidos por ondas excitadas por alguma fonte e propagadas através do solo. O objetivo aqui é contribuir com aspectos teóricos e práticos nas áreas de otimização de forma, tomografia de impedância elétrica e inversão da forma da onda completa. Em particular, estudamos o método do adjunto médio, que pode lidar com restrições adicionais, tais como admitir descontinuidades nos parâmetros materiais, a depender das configurações específicas dos espaços de função. Para tanto, resultados sobre a diferenciabilidade do operador em relação a forma são estabelecidos e um algoritmo de otimização de forma, que utiliza o método do adjunto médio, é proposto. Além disso, utilizamos algumas ideias da teoria clássica de otimização e empregamos um procedimento de busca linear para aprimorar a reconstrução das interfaces de forma. Adicionalmente, usamos nossa própria versão do método do conjunto de nível (level set) para calcular com eficiência as interfaces em evolução. Resultados numéricos são apresentados para os problemas inversos na tomografia de impedância elétrica utilizando medidas pontuais em fronteira descontínua e na exploração geofísica em escala de reservatório no domínio sólido contendo corpos de sal para reconstrução de interfaces nítidas pela inversão da forma da onda completa no domínio do tempo. Como parte desta tese, duas implementações de otimização de forma que dependem do cálculo da derivada de forma da função de custo, usada no método do conjunto de nível, foram desenvolvidas.