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Doctoral Thesis
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.2021.tde-22022021-190836
Document
Author
Full name
Leonardo Andrés Poveda Cuevas
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2021
Supervisor
Committee
Barros, Saulo Rabello Maciel de (President)
Camargo, André Pierro de
Marrocos, Marcus Antonio Mendonça
Pereira, Marcone Corrêa
Siciliano, Gaetano
Title in Portuguese
Estimativas de erro para discretizações do Laplaciano por métodos de volumes finitos em malhas esféricas geodésicas icosaédricas
Keywords in Portuguese
Ealha esférica icosaédrica
Estimativas de erro a priori
Estimativas em norma uniforme
Estimativas pontuais
Laplaciano
Volumes finitos
Abstract in Portuguese
A presente tese concentra-se no estudo de estimativas de erro das soluções aproximadas da discretização do Laplaciano pelo Método clássico de Volumes Finitos na esfera unitária \S. Inicialmente e conforme a literatura, estabelecemos a boa colocação do problema de Poisson em \S. Em seguida, apresentamos a construção recursiva usual das malhas esféricas geodésicas icosaédricas (NOPT) e esboçamos propriedades geométricas essenciais como o principio de dualidade Voronoï-Delaunay e as otimizações SCVT e HR95, sendo que a precisão da soluções aproximadas depende da qualidade da malha. Definida a estrutura, introduzimos uma discretização do Laplaciano via um Método clássico de Volumes Finitos (MVF). De forma geral, ao usar este método, frequentemente aparece uma perda da consistência causada pela não uniformidade da malha; mas isso não implica necessariamente em perda de convergência. Esse fato foi a motivação principal para o desenvolvimento deste trabalho. Nesse sentido, analisamos taxas de convergência através de uma abordagem mais tradicional, que consiste em reescrever o MVF como um Método de Elementos Finitos Lineares (MEFL) e usar a teoria de aproximação disponível dos MEFL. Aqui, mostramos estimativas clássicas \emph{a priori} de primeira ordem nas normas H^ e L^ de forma direta. O principal resultado deste trabalho são estimativas nas normas W^{1,\infty} e L^{\infty} com ordem sub-linear em relação ao tamanho de malha. Tais estimativas são obtidas através do uso de funções de Green regularizadas em \S, combinadas com a relação entre o método de volumes finitos com elementos finitos. No caso de uso de uma malha SCVT a convergência nestas normas é super-linear (quase quadrática). Apresentamos exemplos numéricos confirmando as estimativas do erro, evidenciando que ao menos tais ordens de convergência são atingidas.
Title in English
Error estimates for discretizations of the Laplacian by finite volume methods on spherical geodesic icosahedral grids
Keywords in English
A priori error estimates
Finite volume
Laplacian
Pointwise estimates
Spherical icosahedral grids
Uniform error estimates
Abstract in English
In this work, we focus on the study of error estimates of the approximate solutions of a Poisson equation on the unit sphere \S, discretized by a classical Finite Volume Method (FVM). Initially and according to the literature, we establish the well-posedness of the problem. Next, we present the usual recursive construction of the spherical icosahedral geodesic grids (NOPT). We sketch essential geometric properties as the duality principle of Voronoï-Delaunay and SCVT and HR95 optimizations, since the precision of approximate solutions depends on the quality of the grid. The usual finite volume discretization of the Laplacian on icosahedral spherical grids presents a loss of consistency, caused by non-uniformity of the grids. However, this does not necessarily imply in a degradation of convergence. This fact was the main motivation for the development of this work. In this sense, we analyse convergence rates through a more traditional approach, which consists on rewriting the FVM as a Linear Finite Element Method (LFEM) and use the available LFEM approximation theory. Here we present some classical \emph{a priori} first order estimates in H^ and L^-norms. The main contribution of this work are estimates in the W^{1,\infty} and L^{\infty} -norms with sub-linear order concerning the mesh size. The proofs employ regularized Green's functions on \S, combined with the finite element formulation for the finite volume method. In the case of the SCVT grid we obtain super-linear (almost quadratic) convergence estimates. Numerical examples evidence that the convergence is at least as good as predicted.
 
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Publishing Date
2021-07-06
 
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