Dissertação de Mestrado

Nessa dissertação, serão apresentados o teorema de Bergman-Isaacs, sobre a existências de elementos fixos pela ação de um grupo finito G em um anel R sem |G|-torção, e algumas de suas consequências mais importantes. Serão construídos três contextos de Morita: o primeiro associado aos anéis R^G e R*G, o segundo associado aos anéis A_1 e A\\# (kG)^*, onde A_1 é a componente de índice 1 de uma álgebra G-graduada A, e o terceiro associado aos anéis A^H e A\\# H, onde H é uma álgebra de Hopf de dimensão finita, A é uma H-módulo álgebra e A^H é a subálgebra de invariantes de A. Além disso, será demonstrado o teorema de dualidade Blattner-Montgomery. Por fim, será investigado a semiprimalidade dos anéis citados, sobretudo do produto smash A\\# H.

In this work, the Bergman-Isaacs theorem will be presented, concerning the existence of fixed elements under the action of a finite group G on a ring R without |G|-torsion, along with some of its most important consequences. Three Morita contexts will be constructed: the first one associated with the rings R^G and R*G, the second associated with the rings A_1 and A\\# (kG)^*, where A_1 is the component of index 1 of a G-graded algebra A, and the third associated with the rings A^H and A\\# H, where H is a finite-dimensional Hopf algebra, A is an H-module algebra, and A^H is the subalgebra of invariants of A. Additionally, the Blattner-Montgomery duality theorem will be demonstrated. Finally, the semiprimality of the mentioned rings will be investigated, especially the smash product A\\# H.