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Master's Dissertation
DOI
10.11606/D.45.2015.tde-28082015-193550
Document
Author
Full name
Willian Ribeiro Valencia da Silva
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2015
Supervisor
Committee
Rodrigues, Rodrigo Lucas (President)
Guzzo Junior, Henrique
Kochloukov, Plamen Emilov
Title in Portuguese
Superderivações e superhomomorfismos de Jordan e identidades funcionais
Keywords in Portuguese
Identidades funcionais
Superálgebras
Superderivações
Superhomomorfismos
Abstract in Portuguese
O objetivo desta dissertação é apresentar a generalização de alguns resultados, válidos para anéis, para o contexto de superálgebras. Em 1957, I. N. Herstein provou que toda derivação de Jordan em um anel primo de característica diferente de 2 é uma derivação. Em 1988, M. Bresar demonstrou que este fato também é válido no caso em que o anel é semiprimo. Nos Capítulos 2 e 3, apresentamos generalizações desses resultados, dadas por M. Fosner, em 2003, e que afirmam que em uma superálgebra associativa prima, cuja parte par é não comutativa, toda superderivação de Jordan é uma superderivação, e que se D é uma superderivação de Jordan em uma superálgebra associativa semiprima A, então, existem ideais graduados U e V de A, cuja soma direta é um ideal essencial de A, isto é, a interseção da soma direta com qualquer ideal graduado não nulo de A, é não nula, tais que se U = 0, então, a parte par de A é comutativa e se V = 0, então, D é uma superderivação. Em 1956, I. N. Herstein mostrou que todo homomorfismo de Jordan sobrejetor, de um anel qualquer em um anel primo de característica diferente de 2 e 3, é um homomorfismo ou um antihomomorfismo, e em 1957, M. Smiley provou o mesmo resultado sem usar a hipótese de que a característica do anel é diferente de 3. No Capítulo 4, apresentamos a generalização desse resultado dada por K. Beidar, M. Bresar e M. Chebotar, em 2003, e que afirma que todo superhomomorfismo de Jordan sobrejetor de uma superálgebra associativa qualquer em uma superálgebra associativa prima, cuja parte par não é comutativa, é um superhomomorfismo ou um superantihomomorfismo. No Capítulo 5, introduzimos o resultado de W. Baxter e W. Martindale, 3º, de 1979, que afirma que todo homomorfismo de Jordan sobrejetor, em um anel semiprimo de característica diferente de 2, quando restrito a um certo ideal essencial do domínio, é a soma direta de um homomorfismo com um antihomomorfismo. Finalmente no último capítulo, fazemos uma exposição da teoria de identidades funcionais dada por M. Bresar, M. Chebotar e W. Martindale, 3º, apresentamos a generalização da teoria para superálgebras, dada por Yu Wang, em 2011, e ainda um resultado de Yu Wang e Yao Wang, de 2014, que afirma que todo superhomomorfismo de Jordan de uma superálgebra em uma superálgebra unitária, tal que a imagem é um subconjunto 4-superlivre do contradomínio, é uma soma direta de um superhomomorfismo com um superantihomomorfismo. Finalmente, apresentamos uma contribuição original para a classificação das superderivações de Jordan de grau 0.
Title in English
Jordan superderivations and superhomomorphisms and functional identities
Keywords in English
Functional identities
Superalgebras
Superderivations
Superhomomorphisms
Abstract in English
The goal of this dissertation is to present the generalization of some results, which hold in rings, for the context of superalgebras. In 1957, I. N. Herstein proved that every Jordan derivation on a prime ring with characteristic not 2 is a derivation. In 1988, M. Bresar proved that the result still holds when the ring is semiprime. In the Chapters 2 and 3, we present generalizations for these results, given by M. Fosner, in 2003, which state that on a prime associative superalgebra, whose even part is noncommutative, every Jordan superderivation is a superderivation, and if D is a Jordan superderivation on a semiprime associative superalgebra A, then, there exist graded ideals U and V of A, where the direct sum of them is an essential ideal of A, that is, the intersection of the direct sum and any nonzero graded ideal of A, is nonzero, such that if U=0, then the even part of A is commutative and if V=0, then D is a superderivation. In 1956, I. N. Herstein proved that every Jordan homomorphism onto a prime ring with characteristic not 2 or 3, is either a homomorphism or an antihomomorphism, and in 1957, M. Smiley proved the same result without assuming that the characteristic of the ring is not 3. In the Chapter 4, we present a generalization of this result given by K. Beidar, M. Bresar and M. Chebotar, in 2003, which states that every Jordan superhomomorphism from an associative superalgebra onto a prime associative superalgebra, whose even part is noncommutative, is either a superhomomorphism or a superantihomomorphism. In Chapter 5, we present a result given by W. Baxter and W. Martindale, 3rd, in 1979, which states that every Jordan homomorphism onto a semiprime ring, with characteristic not 2, when restricted to a certain essential ideal of the domain, is the direct sum of a homomorphism and an antihomomorphism. Finally, in the last chapter, we present the theory of functional identities, given by M. Bresar, M. Chebotar and W. Martindale, 3rd, we also present the generalization of the theory for superalgebras given by Yu Wang, in 2011, and a result given by Yu Wang and Yao Wang, in 2014, which states that every Jordan superhomomorphism from a superalgebra into an unital superalgebra, such that its range is a 4-superfree subset of the codomain, is the direct sum of a superhomomorphism and a superantihomomorphism. Finally, we present an original contribution to the classification of the Jordan superderivations of degree 0.
 
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Dissertacao.pdf (826.17 Kbytes)
Publishing Date
2015-09-03
 
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