We study the concept of representations up to homotopy of Lie groupoids. Our main result is the proof that the cohomology of a Lie groupoid with coefficients in a representation up to homotopy is a Morita invariant of the groupoid. This can be interpreted as a way to provide cohomological invariants for orbifolds and more generally for differentiable stacks, which are spaces with singularities whose isomorphism classes are in one-to-one correspondence with Morita equivalence classes of Lie groupoids. To prove this result, we rely on the theory of simplicial objects in smooth categories e.g. simplicial manifolds, sim- plicial vector bundles, and equivalences between them which are defined in terms of maps called hypercovers. We also prove results on the invariance of the simplicial cohomology of these spaces under hypercovers.

Estudamos o conceito de representações a menos de homotopia de grupoides de Lie e a cohomologia naturalmente associada a tais representações. Nosso principal resultado é a prova de que a cohomologia de um grupoide de Lie com valores em uma representação a menos de homotopia é um invariante de Morita, o que pode ser interpretado como uma forma de introduzir invariantes cohomologicos para orbifolds e mais geralmente para stacks diferenciáveis, que são espaços com singularidades cujas classes de isomorfismo estão em correspondência biunvoca com classes de equivalência de Morita de grupoides de Lie. Para provar tal resultado, utilizamos a teoria de objetos simpliciais em categorias suaves e.g. variedades simpliciais, fibrados vetoriais simpliciais e equivalências entre eles, definidas a partir de mapas chamados hypercovers. Demonstramos também a invariância da cohomologia simplicial destes objetos sob hypercovers.