Tese de Doutorado

Dado um espaço de Banach $X$, um operador linear limitado $T$ em $X$ é dito {\\it hipercíclico} se existir um vetor $x \\in X$ tal que o conjunto $\\orb{(x,T)} \\eqdef \\{x, Tx, T^2x, T^3x, \\ldots T^nx \\ldots \\}$ é denso em $X$. Em \\cite, Madore e Martínez-Avendaño estenderam o conceito de hiperciclicidade para subespaços: dado um subespaço $M \\subsetneq X$, um operador $T$ é dito {\\it sub-hipercíclico em $M$} se existir $x \\in X$ tal que $\\orb{(x,T)} \\cap M$ seja denso em $M$. Sendo um conceito razoavelmente novo, ainda há muita dúvida sobre quais resultados envolvendo operadores hipercíclicos se estendem naturalmente para operadores sub-hipercíclicos. Este trabalho contribui nesse sentido. Entre os resultados obtidos no segundo capítulo, destacamos a existência de operadores sub-hipercíclicos para qualquer subespaço $M$ de um espaço de Banach e a densidade (na topologia da convergência pontual) do conjunto dos operadores sub-hipercíclicos em $\\mathcal(X)$. Estudamos ainda no terceiro capítulo o {\\it Critério de Sub-Hiperciclicidade}, exibindo um contra-exemplo e um novo critério que funciona em espaços de Banach não necessariamente separáveis. Além disso, no quarto capítulo deste trabalho estudamos também a relação entre hiperciclicidade e ciclicidade via operadores da forma $I + K$, com o intuito de responder a pergunta: será que existe um espaço de Banach onde todo operador hipercíclico satisfaz o chamado {\\it Critério de Hiperciclicidade}? Por fim, inspirados na relação entre hiperciclicidade e sub-hiperciclicidade, terminamos o trabalho definindo o conceito de {\\it sub-ciclicidade} e explorando relações entre todos os conceitos vistos na tese.

Given a Banach space $X$, a bounded linear operator $T$ in $X$ is {\\it hypercylic} if, for some $x \\in X$, the set $\\orb{(x,T)} \\eqdef \\{x, Tx, T^2x, T^3x, \\ldots T^nx \\ldots \\}$ is dense in $X$. In \\cite, Madore and Martínez-Avendaño extended the notion of hypercyclicity to subspaces: an operator $T$ is {\\it subspace-hypercyclic} for some subspace $M \\subsetneq X$ if there is some $x \\in X$ such that $\\orb{(x,T)} \\cap M$ is dense in $M$. Since this is a relatively new concept, there is a lot of questions regarding which results for hypercyclic operators holds for subspace-hypercyclic operators. This work contributes in this area. Amongst the results obtained in the second chapter, we highlight the existence of subspace-hypercyclic operators for any given subspace $M$ of a Banach space and the SOT-density of the set of subspace-hypercyclic operators on $\\mathcal(X)$. In the third chapter, we study the {\\it Subspace-Hypercyclicity Criterion}, showing a counter-example to this criterion and devising a new one that works on nonseparable Banach spaces. Beyond that, on the fourth chapter we also study the relationship between hypercyclicity and cyclicity using scalar-plus-compact operators, with the goal of answering the question: is there a Banach space where every hypercylic operator satisfy the so-called {\\it Hypercyclicity Criterion}? Lastly, inspired by the relationship between hypercyclicity and subspace-hypercyclicity, we end this work by introducing the concept of {\\it subspace-cyclicity} and connecting all the concepts studied in this thesis