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Tesis Doctoral
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.2020.tde-25092020-230836
Documento
Autor
Nombre completo
Pedro Russo de Oliveira
Dirección Electrónica
Instituto/Escuela/Facultad
Área de Conocimiento
Fecha de Defensa
Publicación
São Paulo, 2020
Director
Tribunal
Goncalves, Jairo Zacarias (Presidente)
Ferreira, Vitor de Oliveira
Fornaroli, Érica Zancanella
Mandel, Arnaldo
Tengan, Eduardo
Título en inglés
On the existence of free symmetric pairs in normal subgroups of division rings with involution
Palabras clave en inglés
Division rings
Free symmetric pairs
Involution
Resumen en inglés
Let D be a noncommutative division ring with center k, whose characteristic is distinct from 2, endowed with an involution * -- which is said to be of the first kind, if it is k-linear, and of the second kind, otherwise. By a free symmetric pair in D, one understands a subset {x,y} of symmetric -- i.e., x* = x and y* = y -- nonzero members of D which freely generate a free group. Let N be a non central normal subgroup of the multiplicative group of D. We present sufficient conditions for the existence of free symmetric pairs in N, with exception of the case in which D is a quaternion algebra and * is symplectic. Specifically, when the dimension of D over k is finite, we show that N contains free symmetric pairs in the following cases: (a) * is of the first kind and k is uncountable; (b) D is a quaternion algebra and * is an orthogonal involution or an involution of the second kind; (c) * is of the first kind and N contains a symmetric root of unity. Without any assumption on the dimension of D or on the kind of *, the same conclusion holds in the cases: (d) N contains a symmetric root of unity whose minimal polynomial, in case k has positive characteristic, has even degree; and (e) N contains a symmetric element which is algebraic over k and whose minimal polynomial has degree 2.
Título en portugués
Sobre a existência de pares simétricos livres em subgrupos normais de anéis com divisão com involução
Palabras clave en portugués
Anéis com divisão
Involução
Pares simétricos livres
Resumen en portugués
Seja D um anel com divisão não comutativo de centro k, cuja característica seja distinta de 2, munido de uma involução *. Dizemos que * é de primeira espécie se fixa cada um dos elementos de k e que é de segunda espécie em caso contrário. Um par simétrico livre em D é um subconjunto {x,y} de elementos simétricos -- isto é, x* = x e y* = y -- não nulos de D que geram livremente um grupo livre. Seja N um subgrupo normal não central do grupo multiplicativo de D. Apresentaremos, aqui, condições suficientes para que N contenha pares simétricos livres, com exceção do caso em que D é uma álgebra de quatérnios e * é simplética. Especificamente, mostramos que N contém pares simétricos livres quando a dimensão de D sobre k é finita, nos seguintes casos: (a) * é de primeira espécie e k é não enumerável; (b) D é uma álgebra de quatérnions e * é uma involução ortogonal ou de segunda espécie; (c) * é de primeira espécie e N contém uma raiz da unidade simétrica. Independentemente da dimensão de D e da espécie de *, a mesma conclusão é válida nos casos: (d) N contém uma raiz da unidade simétrica cujo polinômio minimal, no caso em que k em característica positiva, tem grau par; e (e) N contém um elemento simétrico algébrico sobre k cujo polinômio minimal tem grau 2.
 
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ThesisPRusso.pdf (494.94 Kbytes)
Fecha de Publicación
2021-01-20
 
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