Tese de Doutorado

A presente tese de doutorado mergulha profundamente na teoria matemática da Álgebra de Co- lombeau, bem como em conceitos relacionados de cálculo e funções generalizadas temperadas, aplicando-os ao contexto dos R - Módulos de Hilbert. O objetivo central desta pesquisa é ampliar nossa compreensão das estruturas matemáticas subjacentes e suas aplicações em diversas áreas da matemática e da física. A Álgebra de Colombeau, uma extensão das funções distribucionais de Schwartz, desempenha um papel fundamental nesta pesquisa, permitindo-nos lidar com funções e distribuições que não são facilmente tratadas por métodos convencionais. Exploramos a teoria da Álgebra de Colombeau para estudar séries de Neumann, um conceito essencial na análise funcional e teoria de operadores. Além disso, investigamos o Princípio de Ekeland, uma poderosa ferramenta em otimização não convexa e análise variacional, adaptando-o ao contexto das R - Módulos de Hilbert, ampliando assim suas aplicações para uma classe mais ampla de problemas matemáticos e físicos. Outro ponto de destaque em nossa pesquisa é a aplicação do Teorema da Função Inversa a R - Módulos de Hilbert, explorando como a estrutura desses módulos influencia as propriedades da função inversa, abrindo novas possibilidades na resolução de equações não lineares e sistemas de equações em espaços funcionais.

This doctoral thesis delves deep into the mathematical theory of Colombeau Algebra, as well as related concepts in calculus and tempered generalized functions, applying them to the context of R - Hilbert Modules. The central objective of this research is to expand our understanding of the underlying mathematical structures and their applications in various areas of mathematics and physics. Colombeau Algebra, an extension of Schwartzs distribution functions, plays a pivotal role in this research, allowing us to handle functions and distributions that are not easily treated by conventional methods. We explore the theory of Colombeau Algebra to study Neumann series, a fundamental concept in functional analysis and operator theory. Furthermore, we investigate Ekelands Principle, a powerful tool in non-convex optimization and variational analysis, adapting it to the context of R - Hilbert Modules, thereby expanding its applications to a broader class of mathematical and physical problems. Another highlight of our research is the application of the Inverse Function Theorem to R - Hil- bert Modules, exploring how the structure of these modules influences the properties of the inverse function, opening up new possibilities in solving nonlinear equations and systems of equations in functional spaces