Tese de Doutorado

O objetivo deste trabalho é investigar a existência de estruturas lineares em subconjuntos de espaços vetoriais de dimensão infinita. Especificamente, abordamos conjuntos de funções não injetoras, conjuntos de zeros de polinômios homogêneos e conjuntos de sequências que não convergem para zero. Nesses contextos, exploramos as noções de lineabilidade pontual e de $(\\alpha, \\beta)$-lineabilidade, que são refinamentos da noção clássica de lineabilidade. No caso de conjuntos de funções não injetoras, obtemos uma generalização, em várias direções, de um resultado de 2020. Aplicações variadas, incluindo conjuntos de funçõs de Lipschitz não injetoras, são apresentadas. Para os conjuntos de zeros de polinômios homogêneos, estendemos o teorema clássico de Plichko e Zagorodnyuk (1998) sobre a lineabilidade desses conjuntos no caso complexo. Aplicações no caso real também serão obtidas. Por fim, para subconjuntos de espaços de sequências, introduzimos o conceito de espaçabilidade quase pontual, o qual nos permitirá provar resultados sobre conjuntos de sequências que não convergem para zero em relação a uma topologia vetorial. Esses resultados, que foram alcançados por meio do refinamento de uma técnica introduzida por Jiménez-Rodríguez em 2017, generalizam resultados conhecidos e, em diversas situações, fornecem resultados de lineabilidade pela primeira vez.

The purpose of this work is to investigate the existence of linear structures within subsets of infinite dimensional vector spaces. Specifically, we address sets of non injective maps, zero sets of homogeneous polynomials, and subsets of sequences not converging to zero. In these settings, we explore the notions of pointwise lineability and $(\\alpha, \\beta)$-lineability, which are refinements of the classical notion of lineability. In the case of sets of non-injective maps, we obtain a generalization, in several directions, of the result proved in 2020. Several applications, including sets of non-injective Lipschitz functions, are provided. For zero sets of homogeneous polynomials, we extend a classical theorem due to Plichko and Zagorodnyuk (1998) concerning the lineability of these sets in the complex case. Applications to the real case are also obtained. Finally, for subsets of sequence spaces, we introduce the concept of almost pointwise spaceability, which allows us to prove results about sets of sequences that do not converge to zero with respect to a vector topology. These results, which are obtained by means of a refinement of a technique introduced by Jiménez-Rodríguez in 2017, generalize known results and, in several situations, provide lineability-type results for the first time.