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Tese de Doutorado
DOI
Documento
Autor
Nome completo
Cesar Adolfo Hernandez Melo
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2011
Orientador
Banca examinadora
Pava, Jaime Angulo (Presidente)
Menzala, Gustavo Alberto Perla
Nascimento, Arnaldo Simal do
Oliveira, Luiz Augusto Fernandes de
Ramirez, José Felipe Linares
Título em português
Estabilidade de ondas viajantes para equações de Schrodinger do tipo cúbica-quíntica
Palavras-chave em português
Equações de Schrödinger
Estabilidade
Ondas viajantes
Resumo em português
Este trabalho é dedicado a entender alguns aspectos matemáticos dos seguintes modelos não lineares: a equação de Schrödinger não linear com potência dupla, isto é iu t + u xx + u|u| 2 + u|u| 4 = 0, (1) e uma perturbação de tipo delta deste modelo, à saber, iu t + u xx + Z(x)u + u|u| 2 + u|u| 4 = 0. (2) Para o primeiro modelo em (1), usando a teoria de integrais elpticas de Jacobi e o teorema da função implcita, obtemos uma famlia de ondas estacionárias u(x, t) = e iwt w (x), onde w : R R é uma função positiva e periódica de perodo L > 0, conhecida como o perfil da onda. Para L , mostramos que as ondas esta- cionárias periódicas tendem uniformemente sobre intervalos compactos à onda so- litária. Usando uma extensão da teoria de Angulo&Natali assim como as idéias de- senvolvidas por Weinstein, Bona, Grillakis, Shatah e Strauss, mostramos estabilidade orbital desas ondas por perturbações do mesmo perodo que a onda. Por fim, provamos um resultado de instabilidade orbital por perturbações subharmônicas. Para o segundo modelo em (2), usando a onda solitária w,0 no caso em que Z = 0, obtemos duas famlias de picos solitários. Nós observamos que quando Z 0, temos que w,Z w,0 , onde w,0 denota a onda solitária. Então, usando a teoria de perturbação analtica para operadores lineares não limitados, obtemos um resultado detalhado da estabilidade orbital de picos solitários. Além disto, apresentamos alguns problemas naturais que podem ser resolvidos fu- turamente. Em particular, nós propomos uma nova abordagem para resolver questões de estabilidade linear de soluções de equilbrio para certo tipo de equações parabólicas.
Título em inglês
Stability of travelling waves for Schrödingers equations of cubic-quintic type
Palavras-chave em inglês
Schrödinger equations
Stability
Traveling waves
Resumo em inglês
This work is devoted to understand some mathematical aspects of the following nonlinear models: the nonlinear Schrödinger equation with double power in its non-linearity, that is iu t + u xx + u|u| 2 + u|u| 4 = 0, (3) and a perturbation of delta type of this model, namely iu t + u xx + Z(x)u + u|u| 2 + u|u| 4 = 0. (4) For the first model, by using the theory of Jacobi elliptic integrals and the implicit function theorem, we obtain a family of standing waves u(x, t) = e iwt w (x), where w : R R is a positive periodic function of period L > 0, known as the wave profile. When L , we show that the periodic standing waves converge uniformly on compact intervals to the solitary waves. Moreover, using an extension of the Angulo&Natali stability theory, as well as, the stability ideas developed by Weinstein, Bona, Grillakis, Shatah and Strauss, we show the orbital stability of the standing waves for perturbations of the same period of the wave profile. Finally, an orbital instability result by subharmonic perturbations is proved. For the second model, by using the existence of the solitary wave w,0 in the case Z = 0, we obtain two families of solitary peaks. We observe that when Z 0, we have that w,Z w,0 , where w,0 denotes the solitary wave. Then, using the analytic perturbation theory of unbounded linear operators, we obtain an accurate result about orbital stability of solitary peaks. Furthermore, we give some natural problems that can be solved futurely. In par- ticular, we propose a new approach to solve question of linear stability of equilibrium solutions for certain type of parabolic equations.
 
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Data de Publicação
2019-09-23
 
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