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Doctoral Thesis
Full name
Victor dos Santos Ronchim
Knowledge Area
Date of Defense
São Paulo, 2021
Tausk, Daniel Victor (President)
Alves, Thiago Rodrigo
Batista, Leandro Candido
Silva, Samuel Gomes da
Tomita, Artur Hideyuki
Title in English
A study in set-theoretic functional analysis: extensions of C_0(I)-valued operators on linearly ordered compacta and weaker forms of normality on Psi-spaces
Keywords in English
Functional analysis
Linearly ordered compacta
Operator extension
Set-theoretic topology
Sobczyk's theorem
Abstract in English
In the first part of this work we investigate generalizations of the classical theorem of Sobczyk, which states that every $c_0$-valued bounded operator defined on a closed subspace of a separable Banach space admits a bounded extension to the entire space. Towards this goal, we explore the generalization of this problem when $c_0$ is replaced by the non-separable space $c_0(I)$, addressing the problem of extending bounded operators defined on Banach unital subalgebras of $C(K)$, where $K$ is a linear compact space in an attempt to extend the results of D.V. Tausk and C. Correa. We describe a class of linear compact spaces, called separably determined, where the criteria for extending $c_0$-valued operators and the one for extending $c_0(I)$-valued operators are the same. On the second part of this work we examine weaker forms of normality in Mrówka-Isbell spaces. We study the concept of semi-normality in spaces providing structural results connecting normality, semi-normality and almost-normality. We define the separation concept of strongly $(\aleph_0, <\mathfrak c)$-separated almost disjoint families and prove the generic existence of completely separable strongly $(\aleph_0, <\mathfrak c)$-separated almost disjoint families under the assumption $\mathfrak s=\mathfrak c$ and $\mathfrak b=\mathfrak c$, answering a question from P. Szeptycki and S. Garcia-Balan.
Title in Portuguese
Um estudo em análise funcional conjuntista: extensões de operadores valorados a C_0(I) em compactos totalmente ordenados e enfraquecimentos de normalidade em Psi-espaços
Keywords in Portuguese
Análise funcional
Compactos totalmente ordenados
Extensão de operadores
Teorema de Sobczyk
Topologia conjuntista
Abstract in Portuguese
Na primeira parte deste trabalho nós investigamos generalizações do clássico teorema de Sobczyk, que afirma que todo operador limitado valorado a $c_0$ e definido em um subespaço fechado de um espaço de Banach separável admite uma extensão limitada. Em direção a este objetivo, nós exploramos a generalização deste problema quando o espaço $c_0$ é substituído pela sua versão não separável $c_0(I)$, abordando o problema de estender operadores limitados definidos em uma subálgebra de Banach unital de $C(K)$, onde $K$ é um compacto totalmente ordenado em uma tentativa de generalizar os resultados de D.V. Tausk e C. Correa. Nós descrevemos uma classe de compactos totalmente ordenados, chamada de separavelmente determinada, onde os critérios para extensão de operadores valorados a $c_0$ e para operadores valorados a $c_0(I)$ coincidem. Na segunda parte, nós examinamos enfraquecimentos de normalidade em espaços de Mrówka-Isbell. Estudamos o conceito de semi-normalidade nestes espaços, provendo resultados estruturais que conectam normalidade, semi-normalidade e quase-normalidade. Nós definimos o conceito de separação, chamado fortemente $(\aleph_0, <\mathfrak c)$-separado, e provamos a existência genérica de famílias quase disjuntas, completamente separáveis e fortemente $(\aleph_0, <\mathfrak c)$-separadas sob a hipótese $\mathfrak s=\mathfrak c$ and $\mathfrak b=\mathfrak c$, respondendo uma questão proposta por P. Szeptycki e S. Garcia-Balan.
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