Dissertação de Mestrado

Since the seminal works of Eilenberg, Cartan, Mac Lane and Grothendieck in homological algebra during the 1950s and 1960s, the field has experienced significant growth, paralleling the exciting mathematical advances of the era. Homology has found applications across a diverse range of studies, serving both as a flexible abstract framework and a powerful tool for computations. In this work, we explore some of the developments enabled by this revolution, with a focus on the homological theory of associative algebras. Our main motivation, the Van den Bergh duality theorem for smooth algebras, is an example of a topology-like result in algebra that is only made possible by the language of homological algebra and is proved using the tools of homology spectral sequences. We then expand our study to related topics in commutative algebra and relative homological algebra, highlighting the theory's broad applicability and suggesting directions for future research.

Desde os trabalhos seminais de Eilenberg, Cartan, Mac Lane e Grothendieck em álgebra homológica durante as décadas de 1950 e 1960, a área experimentou um crescimento significativo, acompanhando os grandes avanços matemáticos da época. A homologia encontrou aplicações em uma ampla gama de estudos, funcionando tanto como uma linguagem abstrata flexível quanto como uma ferramenta poderosa para cálculos. Neste trabalho, exploramos alguns dos desenvolvimentos possibilitados por essa revolução, focando na teoria homológica das álgebras associativas. Nossa principal motivação, o teorema da dualidade de Van den Bergh para álgebras suaves, é um exemplo de um resultado de tipo topológico na álgebra, que só é possível de ser discutido com a linguagem da álgebra homológica e é provado utilizando as ferramentas das sequências espectrais de homologia. Após discutí-lo, expandimos nosso estudo para tópicos relacionados em álgebra comutativa e álgebra homológica relativa, destacando a ampla aplicabilidade da teoria e sugerindo direções para pesquisas futuras.