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Master's Dissertation
DOI
https://doi.org/10.11606/D.45.2020.tde-16122020-153441
Document
Author
Full name
Viktor Chust Bugno Pires de Almeida
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2020
Supervisor
Committee
Coelho, Flavio Ulhoa (President)
Alvares, Edson Ribeiro
Trepode, Sonia Elizabeth
Title in Portuguese
Álgebras de caminhos generalizadas com relações e suas representações
Keywords in Portuguese
Álgebras de caminhos
Álgebras de caminhos generalizadas
Representações de álgebras
Representações de aljavas
Abstract in Portuguese
O conceito de álgebras de caminhos generalizadas (abreviadas aqui por ACG), tal como tratado neste texto, foi introduzido por F. U. Coelho e S. X. Liu em (Coelho, Liu, 2000). O objetivo da presente dissertação é aprofundar o conhecimento sobre tais álgebras e suas representações, elencando tanto resultados já existentes na literatura quanto novas abordagens a serem apresentadas aqui. Seja $\Gamma$ uma aljava (também chamada de quiver, em inglês), e seja $\calA = \{A_i : i \in \Gamma_0\}$ uma família de álgebras, onde $\Gamma_0$ é o conjunto dos vértices de $\Gamma$. Uma álgebra de caminhos generalizada $k(\Gamma,\calA)$ é definida como sendo o espaço vetorial tendo como base o conjunto de caminhos sobre $\Gamma$ intercalados por elementos das álgebras $A_i$ que correspondem a cada vértice. A multiplicação em $k(\Gamma,\calA)$ é então definida por concatenação de caminhos e usando as multiplicações internas das álgebras $A_i$. Outro trabalho que será fundamental aqui é o artigo (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008). Nele, os autores R. M. Ibáñez-Cobos, G. Navarro e J. López-Peña obtém generalizações para dois teoremas bem conhecidos de P. Gabriel, que originalmente tratam das álgebras de caminhos usuais (ver (Auslander, Reiten, Smalo,1995),(Assem, Coelho, 2020), por exemplo, para uma introdução a esses teoremas). Um dos problemas com o quais lidamos é decidir quando uma álgebra dada é isomorfa a uma ACG de forma não trivial. O tratamento deste problema ganha contornos mais interessantes quando permitimos que as ACGs tenham relações. Adaptando as definições e os resultados de (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008) a esse novo contexto, é possível abordar o problema citado acima usando critérios de natureza combinatória. Dada uma ACG $k(\Gamma,\calA)$, dizemos que uma propriedade de álgebras ou de representações vale localmente se ela vale para cada álgebra que pertence à família $\calA$, e dizemos que ela vale globalmente se vale para a álgebra $k(\Gamma,\calA)$. A relação entre propriedades locais e globais é outro problema relevante que discutiremos aqui. Na literatura, exemplos dessas propriedades aparecem em (Külshammer, 2017), (Wang, 2006). Ainda neste contexto, aprofundando uma discussão presente em (Li, Ye, 2015), é possível descrever as representações de uma ACG que correspondem a módulos simples, projetivos e injetivos.
Title in English
Generalized bound path algebras and their representations
Keywords in English
Generalized path algebras
Path algebras
Representations of algebras
Representations of quivers
Abstract in English
The concept of generalized path algebras (here abbreviated by GPA), in the way it is treated here, was introduced by F. U. Coelho and S. X. Liu in (Coelho, Liu, 2000). The aim of this dissertation is to give a deeper knowledge about these algebras and their representations, listing not only results already existent in the literature but also new approaches which are to be introduced here. Let $\Gamma$ be a quiver, and let $\calA = \{A_i: i \in \Gamma_0 \}$ be a family of algebras, where $\Gamma_0$ is the set of vertices of $\Gamma$. A generalized path algebra $k(\Gamma,\calA)$ is defined as the vector space having as its basis the set of paths over $\Gamma$ interposed by elements from the $A_i$ which correspond to each vertex. Multiplication in $k(\Gamma,\calA)$ is subsequently defined by juxtaposition of paths and using the internal multiplications of the algebras $A_i$. Another work which will be fundamental here is the article (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008). There, the authors R. M. Ibáñez-Cobos, G. Navarro and J. López-Peña obtain generalizations of two well-known theorems due to P. Gabriel, which originally deal with ordinary path algebras (see (Auslander, Reiten, Smalo, 1995), (Assem, Coelho, 2020), e.g., for an introduction to these theorems). One of the problems we deal with is to decide whether a given algebra is isomorphic to a GPA in a non-trivial manner. The approach to this problem is even more interesting when we allow the GPA's to have relations. By adapting the definitions and results from (Ibáñez Cobos, Navarro, López Peña, 2008) to this new context, it is possible to study this problem using criteria which have combinatorial type. Given a GPA $k(\Gamma,\calA)$, we say that a property of algebras or representations holds locally if it holds for every algebra belonging to the family $\calA$, and we say it holds globally if it holds for the algebra $k(\Gamma,\calA)$. The relationship between local and global properties is another relevant problem to be discussed here. In the literature, examples of these properties appear in (Külshammer, 2017), (Wang, 2006). Still in this context, by a deeper insight into a discussion present in (Li, Ye, 2015), it is possible to describe the representations that correspond to simple, projective and injective modules.
 
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DissertacaoViktor.pdf (658.15 Kbytes)
Publishing Date
2021-01-20
 
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