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Mémoire de Maîtrise
DOI
10.11606/D.45.2007.tde-15022008-114522
Document
Auteur
Nom complet
Sergio Tadao Martins
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 2007
Directeur
Jury
Piccione, Paolo (Président)
Pedrosa, Renato Hyuda de Luna
Pereira, Antonio Luiz
Titre en portugais
Variação primeira e segunda para o primeiro autovalor de um problema elíptico
Mots-clés en portugais
Laplaciano
membrana composta
problemas elípticos
teorema espectral
Resumé en portugais
Consideraremos o problema elípitco $-\Delta u + \alpha\chi_Du = \lambda u$ em $\Omega$, onde $\Omega$ é um domínio de R^n com fronteira regular, e $D\subset \Omega$ é um subconjunto fechado de medida de Lebesgue fixada. A motivação para este problema vem da Mecânica, onde esta equação é encontrada no estudo de vibrações de uma membrana composta. Seja $\lambda_1(D)$ o primeiro autovalor do problema, como função do conjunto D. Nesse trabalho mostraremos que $\lambda_1$ é um autovalor simples, e estudaremos o problema de minimizar $\lambda_1$ ao variarmos D no conjunto de todos os subconjuntos de medida fixada de $\Omega$. Mais especificamente, determinaremos fórmulas para a variação primeira e segunda de $\lambda_1$.
Titre en anglais
First and second variation of the first eigenvalue of an elliptic problem
Mots-clés en anglais
composite membrane
elliptic problem
Laplacian
spectral theorem
Resumé en anglais
We will consider the elliptic problem $-\Delta u + \alpha\chi_Du = \lambda u in $\Omega$, where $\Omega$ is a domain in R^n with regular boundary, and $D \subset\Omega$ is a closed subset with prescribed Lebesgue measure. The motivation for this problem comes from Mechanics, where this equation models the vibrations of a composite membrane. Let $\lambda_1(D)$ be the first eigenvalue of the problem, which is seen as a function of the set D. In this work, we will show that $\lambda_1$ is a simple eigenvalue, and we will study the problem of minimizing $\lambda_1(D)$ when D varies in the family of all closed subsets of $\Omega$ with a given Lebesgue measure. More precisely, we will determine formulas for the first and the second variation of $\lambda_1$.
 
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dissertacao.pdf (396.53 Kbytes)
Date de Publication
2008-04-02
 
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