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Thèse de Doctorat
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.2020.tde-14082020-141207
Document
Auteur
Nom complet
Julio Cesar Correa Hoyos
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 2020
Directeur
Jury
Nardulli, Stefano (Président)
Guimarães, Maria Fernanda Elbert
Pimentel, Edgard Almeida
Santos, Walcy
Terra, Glaucio
Titre en anglais
Intrinsic geometry of varifolds in Riemannian manifolds: monotonicity and Poincare-Sobolev inequalities
Mots-clés en anglais
Analysis on manifolds
Calculus of variations
First variation of a varifold
Geometric measure theory
Metric geometry
Michael-Simon inequality
Poincare and Sobolev-type inequalities
Resumé en anglais
We prove a Poincare, and a general Sobolev type inequalities for functions with compact support defined on a $k$-rectifiable varifold $V$ defined on a complete Riemannian manifold with positive injectivity radius and sectional curvature bounded above. Our techniques allow us to consider Riemannian manifolds $(M^n,g)$ with $g$ of class $C^2$ or more regular, avoiding the use of Nash's isometric embedding theorem. Our analysis permits to do some quite important fragments of geometric measure theory also for those Riemannian manifolds carrying a $C^2$ metric $g$, that is not $C^{k+\alpha}$ with $k+\alpha>2$. The class of varifolds we consider are those which first variation $\delta V$ lies in an appropriate Lebesgue space $L^p$ with respect to its weight measure $\|V\|$ with the exponent $p\in\R$ satisfying $p>k$.
Titre en portugais
Geometria intrínsica de varifolds em variedades Riemannianas: monotonia e desigualdades do tipo Poincaré-Sobolev
Mots-clés en portugais
Análise em variedades
Cálculo das variações
Desigualdade de Michael-Simon
Desigualdades do tipo Poincaré-Sobolev
Geometria métrica
Primeira variação de uma varifold
Teoria geométrica da medida
Resumé en portugais
São provadas desigualdades do tipo Poincaré e Sobolev para funções com suporte compacto definidas em uma varifold $k$-rectificavel $V$ definida em uma variedade Riemanniana com raio de injetividade positivo e curvatura secional limitada por cima. As técnicas usadas permitem considerar variedades Riemannianas $(M^n,g)$ com métrica $g$ de classe $C^2$ ou mais regular, evitando o uso do mergulho isométrico de Nash. Dita análise permite refazer alguns fragmentos importantes da teoria geométrica da medida também no caso de variedades Riemannianas que admitem uma métrica $C^2$, que possivelmente não é $C^{k+\alpha}$, com $k+\alpha>2$. A classe de varifolds consideradas, são aquelas em que sua primeira variação $\delta V$ está em um espaço de Labesgue $L^p$ com respeito à sua medida de massa $\|V\|$ com expoente $p\in\R$ satisfazendo $p>k$.
 
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Date de Publication
2021-01-20
 
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