Thèse de Doctorat
DOI
https://doi.org/10.11606/T.45.2019.tde-14022019-203839
Document
Auteur
Nom complet
Jean Cerqueira Berni
Adresse Mail
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 2018
Directeur
Jury
Mariano, Hugo Luiz (Président)
Arndt, Peter
Bianconi, Ricardo
Coniglio, Marcelo Esteban
Lopes, Vinicius Cifú
Titre en anglais
Some algebraic and logical aspects of C∞-Rings
Mots-clés en anglais
C∞-Rings
Sheaves and logic
Smooth commutative algebra
Resumé en anglais
As pointed out by I. Moerdijk and G. Reyes in [63], C∞-rings have been studied specially for their use in Singularity Theory and in order to construct topos models for Synthetic Differential Geometry. In this work, we follow a complementary trail, deepening our knowledge about them through a more pure bias, making use of Category Theory and accounting them from a logical-categorial viewpoint. We begin by giving a comprehensive systematization of the fundamental facts of the (equational) theory of C∞-rings, widespread here and there in the current literature - mostly without proof - which underly the theory of C∞-rings. Next we develop some topics of what we call a ∞Commutative Algebra, expanding some partial results of [66] and [67]. We make a systematic study of von Neumann-regular C∞-rings (following [2]) and we present some interesting results about them, together with their (functorial) relationship with Boolean spaces. We study some sheaf theoretic notions on C∞-rings, such as ∞(locally)-ringed spaces and the smooth Zariski site. Finally we describe classifying toposes for the (algebraic) theory of ∞ rings, the (coherent) theory of local C∞-rings and the (algebraic) theory of von Neumann regular C∞-rings.
Titre en portugais
Alguns aspectos algébricos e lógicos dos C∞-Anéis
Mots-clés en portugais
Álgebra comutativa C∞
C∞-Anéis
Feixes e lógica
Resumé en portugais
Conforme observado por I. Moerdijk e G. Reyes em [63], os anéis C∞ têm sido estudados especialmente tendo em vista suas aplicações em Teoria de Singularidades e para construir toposes que sirvam de modelos para a Geometria Diferencial Sintética. Neste trabalho, seguimos um caminho complementar, aprofundando nosso conhecimento sobre eles por um viés mais puro, fazendo uso da Teoria das Categorias e os analisando a partir de pontos de vista algébrico e lógico-categorial. Iniciamos o trabalho apresentando uma sistematização abrangente dos fatos fundamentais da teoria (equacional) dos anéis C∞, distribuídos aqui e ali na literatura atual - a maioria sem demonstrações - mas que servem de base para a teoria. Na sequência, desenvolvemos alguns tópicos do que denominamos Álgebra Comutativa C∞, expandindo resultados parciais de [66] e [67]. Realizamos um estudo sistemático dos anéis C∞ von Neumann-regulares - na linha do estudo algébrico realizado em [2]- e apresentamos alguns resultados interessantes a seu respeito, juntamente com sua relação (funtorial) com os espaços booleanos. Estudamos algumas noções pertinentes à Teoria de Feixes para anéis ∞, tais como espaços (localmente) ∞anelados e o sítio de Zariski liso. Finalmente, descrevemos toposes classicantes para a teoria (algébrica) dos anéis C∞, a teoria (coerente) dos anéis locais C∞ e a teoria (algébrica) dos anéis C∞ von Neumann regulares.
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Date de Publication
2019-03-26
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