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Mémoire de Maîtrise
DOI
https://doi.org/10.11606/D.45.2020.tde-11122020-164658
Document
Auteur
Nom complet
Henrique de Oliveira Rocha
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Paulo, 2020
Directeur
Jury
Futorny, Vyacheslav (Président)
Bianchi, Angelo Calil
Calixto, Lucas Henrique
Titre en portugais
Representações de álgebras correntes
Mots-clés en portugais
Álgebras correntes
Sequências regulares
Teoria das representações
Resumé en portugais
O primeiro objetivo desta dissertação é estudar os $\mathcal G$-módulos de peso simples cujos espaços de peso possuem dimensão finita, onde $\mathcal G= \mathfrak g \otimes A$, $\mathfrak g $ é uma álgebra de Lie redutível de dimensão finita e $A$ é uma álgebra comutativa associativa com unidade e finitamente gerada. Em particular, mostraremos que tais módulos podem ser descritos a partir de módulos de avaliação e módulos de indução parabólica. O segundo objetivo é estudar subálgebras comutativas de $U(\mathfrak g _m(n))$, onde $\mathfrak g _m(n) = \mathfrak g \mathfrak l _n(\mathbb C) \otimes ( \mathbb C [t]/\langle t^m angle )$. Para $n\leq 3$ ou $m \leq 2$, mostraremos que a imagem graduada de determinados geradores algebricamente independentes do centro de $U(\mathfrak g _m(n))$ formam uma sequência regular da álgebra graduada associada à $U(\mathfrak g _m(n))$. Também mostraremos que, para $m>1$, a imagem graduada dos geradores da subálgebra de Gelfand-Tsetlin de $U(\mathfrak g _m(n))$ formam uma sequência regular se, e somente se, $n=1$ ou $n=2$. Por fim, mostraremos que a imagem graduada dos geradores da subálgebra de Bethe formam uma sequência regular, se $n=2$ e $m \geq 1$ ou $n=3$ e $m=1$. Estes resultados implicam a liberdade de $U(\mathfrak g _m(n))$ como módulo sobre tais subálgebras comutativas, além da existência de $\mathfrak g _m(n)$-módulos irredutíveis levantados de tais álgebras.
Titre en anglais
Representations of current algebras
Mots-clés en anglais
Current algebras
Regular sequences
Representation theory
Resumé en anglais
The first objective of this thesis is to study simple weight $\mathcal G$-modules with finite dimensional weight spaces, where $\mathcal G = \mathfrak g \otimes A$, $\mathfrak g$ is a reductive Lie algebra with finite dimension and $A$ is an associative unital commutative algebra of finite type. In particular we show that such modules are given by evaluation modules and parabolic induced modules. The second objective is study commutative algebras of $U(\mathfrak g _m(n))$, where $\mathfrak g _m(n) = \mathfrak g \mathfrak l _n(\mathbb C) \otimes (\mathbb C [t]/\langle t^m angle )$. For $n \leq 3$ or $m \leq 2$, we will show the graded image of some algebraic independent generators of the center of $U(\mathfrak g _m(n))$ form a regular sequence in the associated graded algebra. We will also prove that for $m>1$ the graded image of generators of the Gelfand-Tsetlin subalgebra of $U(\mathfrak g _m(n))$ form a regular sequence if and only if $n=1$ or $n=2$. Finally, we will show the graded image of generators of the Bethe subalgebra form a regular sequence, if $n=2$ and $m \geq 1$ or $n=3$ and $m=1$. These results implies the freeness of $U(\mathfrak g _m(n)))$ over such commutative subalgebras and the existence of irreducible $\mathfrak g _m(n)$-modules lifted by such algebras.
 
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Date de Publication
2021-01-20
 
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