Tese de Doutorado

Thurston obtained a combinatorial characterization for generic branched self-coverings that preserve the orientation of the oriented 2-sphere by associating a planar graph to them [KL15]. In this work, the Thurston result is generalized to any branched covering of the oriented 2-sphere. To achieve that the notion of local balance introduced by Thurston is generalized. As an application, a new proof for a Theorem of Eremenko-Gabrielov-Mukhin-Tarasov-Varchenko [EG02], [MTV09] is obtained. This theorem corresponded to a special case of the B. & M. Shapiro conjecture. In this case, it refers to generic rational functions stating that a generic rational function R : CP¹--.! CP¹ with only real critical points can be transformed by post-composition with an automorphism of CP¹ into a quotient of polynomials with real coefficients. Operations against balanced graphs are introduced.

Thurston obteve uma caracterização combinatória para os autorecobrimentos ramificados genéricos que preservam a orientação da 2-esfera orientada associando a eles um grafo planar [KL15]. Neste trabalho, o resultado de Thurston é generalizado para qualquer recobrimento ramificado da 2-esfera que preservam a orientação. Para isso, a noção de balanceamento local introduzida por Turston é generalizada. Como aplicação, uma nova prova para um teorema de Eremenko-Gabrielov-Mukhin-Tarasov-Varchenko [EG02], [MTV09] é dada. Este teorema correspondia a um caso especial da Conjectura de B. & M. Shapiro. Neste caso, ela se refere às funções racionais genéricas afirmando que uma função racional genérica R : CP¹ --> CP¹ com apenas pontos críticos reais pode ser transformada via pós-composição com um automorfismo de CP¹ em um quociente de polinômios com coeficientes reais. Operações contra gráficos balanceados são introduzidas.