Dissertação de Mestrado

A difusão é um processo natural que ocorre em diversas áreas, como Biologia, Termodinâmica e Economia. Em particular, problemas de difusão não local têm sido amplamente utilizadas na modelagem da dinâmica populacional, propagação de impulsos nervosos e transições de fase. Embora apresentem vantagens na teoria geral de existência e unicidade, essas equações frequentemente exigem novas técnicas para estudar suas propriedades espectrais. Neste trabalho, investigamos as propriedades espectrais de operadores de difusão não locais, com base em \\citep(gomez2014nonlocal). Propomos uma modificação no operador \\( K_J - hI \\), apresentado em \\citep(gomez2014nonlocal), resultando no operador que denotamos por \\( A_T - I \\). Essa alteração elimina o fator de multiplicação \\( h \\) do termo \\( hI \\) e incorpora mudanças no núcleo do operador original. Realizamos uma análise comparativa entre esses operadores, observando as propriedades preservadas pelo novo operador em relação ao anterior e destacando avanços, como a caracterização do espaço \\( C_{b\\mu}(\\Omega) \\) e a reformulação da Proposição 2.1.7 de \\citep[p.~24](gomez2014nonlocal), que aborda a compacidade de \\( K_J \\) sob certas hipóteses, agora apresentada como Proposição ef{Kj comp} neste trabalho. Além disso, observamos que a modificação proposta nesse texto proporciona maior facilidade na obtenção de seu espectro em comparação com o operador original. No entanto, constatamos a perda de algumas propriedades em relação ao operador original, como o fato de \\(K_ - hI\\) ser auto-adjunto em \\(L^(\\Omega)\\) sob certas hipóteses. Apesar das limitações identificadas no operador modificado em nossos estudos, acreditamos que esse trabalho contribui para a compreensão de problemas de difusão não local e suas aplicações.

Diffusion is a natural process that occurs in various fields, such as Biology, Thermodynamics, and Economics. In particular, nonlocal diffusion problems have been widely used in modeling population dynamics, nerve impulse propagation, and phase transitions. While these equations offer advantages in the general theory of existence and uniqueness, they often require new techniques to study their spectral properties. In this work, we investigate the spectral properties of nonlocal diffusion operators based on \\citep(gomez2014nonlocal). We propose a modification to the operator \\( K_J - hI \\), introduced in \\citep(gomez2014nonlocal), resulting in the operator here denoted by \\( A_T - I \\). This modification eliminates the multiplication factor \\( h \\) from the term \\( hI \\) and incorporates changes to the kernel of the original operator. We conduct a comparative analysis between these operators, observing the properties preserved by the new operator in relation to the original and highlighting advances such as the characterization of the space \\( C_{b\\mu}(\\Omega) \\) and the reformulation of Proposition 2.1.7 from \\citep[p.~24](gomez2014nonlocal) which addresses the compactness of \\( K_J \\) under certain assumptions, now presented as Proposition ef{Kj comp} in this work. Additionally, we observe that the proposed modification in this study provides greater ease in obtaining its spectrum compared to the original operator. However, we also note the loss of certain properties compared to the original operator, such as the fact that \\( K_J - hI \\) is self-adjoint in \\( L^(\\Omega) \\) under certain hypotheses. Despite the limitations identified in the modified operator during our studies, we believe that this work contributes to the understanding of nonlocal diffusion problems and their applications.