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Dissertação de Mestrado
DOI
https://doi.org/10.11606/D.45.2021.tde-09082021-231927
Documento
Autor
Nome completo
Rodrigo Lima Dias
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2021
Orientador
Banca examinadora
Melo, Severino Toscano do Rego (Presidente)
Exel Filho, Ruy
Schrohe, Elmar Ludwig
Título em inglês
Continuous deformations of Fredholm operators in B(H)
Palavras-chave em inglês
Fredholm index
Fredholm operators
Index theory
K-theory
K-theory of compact spaces
Resumo em inglês
Let X be a compact Hausdorff topological space. The K-group of X, denoted by K(X), is the Grothendieck group associated to the commutative monoid of isomorphism classes of complex vector bundles over X, equipped with the Whitney sum. Let H be an infinite dimensional Hilbert space and F(H) be the set of Fredholm operators on H. The Atiyah-Jänich Theorem states that the families-index is a natural isomorphism between the monoid of homotopy classes of functions from X into F(H) and the group K(X). In case X is a singleton, the families-index is the classic Fredholm index, and the Atiyah-Jänich Theorem states that the arcwise connected components of F(H) are characterized by the Fredholm index. In this work, we give a detailed exposition of the Atiyah-Jänich Theorem, studying the necessary elements to understand the construction of the K-group of a compact Hausdorff topological space, the definition of the families-index and giving a proof that such an index is the mentioned isomorphism.
Título em português
Deformações contínuas de operadores de Fredholm em B(H)
Palavras-chave em português
Índice de Fredholm
K-teoria
K-teoria de espaços compactos
Operadores de Fredholm
Teoria do índice
Resumo em português
Seja X um espaço topológico Hausdorff compacto. O K-grupo de X, denotado por K(X), é o grupo de Grothendieck associado ao monoide comutativo das classes de isomorfismos de fibrados vetoriais complexos sobre X, munido da soma de Whitney. Sejam H um espaço de Hilbert de dimensão infinita e F(H) o conjunto dos operadores de Fredholm em H. O Teorema de Atiyah-Jänich afirma que o families-index é um isomorfismo natural entre o monoide das classes de homotopia das funções de X em F(H) e o grupo K(X). No caso em que X consiste de apenas um ponto, o families-index é o clássico índice de Fredholm, e o Teorema de Atiyah-Jänich afirma que as componentes conexas por caminhos de F(H) são caracterizadas pelo índice de Fredholm. Nesse trabalho, fazemos uma exposição detalhada do Teorema de Atiyah-Jänich, estudando os elementos necessários para entender a construção do K-grupo de um espaço topológico Hausdorff compacto, a definição do families-index e a demonstração de que tal índice é o isomorfismo mencionado.
 
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Data de Publicação
2022-01-28
 
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