Let X be a compact Hausdorff topological space. The K-group of X, denoted by K(X), is the Grothendieck group associated to the commutative monoid of isomorphism classes of complex vector bundles over X, equipped with the Whitney sum. Let H be an infinite dimensional Hilbert space and F(H) be the set of Fredholm operators on H. The Atiyah-Jänich Theorem states that the families-index is a natural isomorphism between the monoid of homotopy classes of functions from X into F(H) and the group K(X). In case X is a singleton, the families-index is the classic Fredholm index, and the Atiyah-Jänich Theorem states that the arcwise connected components of F(H) are characterized by the Fredholm index. In this work, we give a detailed exposition of the Atiyah-Jänich Theorem, studying the necessary elements to understand the construction of the K-group of a compact Hausdorff topological space, the definition of the families-index and giving a proof that such an index is the mentioned isomorphism.

Seja X um espaço topológico Hausdorff compacto. O K-grupo de X, denotado por K(X), é o grupo de Grothendieck associado ao monoide comutativo das classes de isomorfismos de fibrados vetoriais complexos sobre X, munido da soma de Whitney. Sejam H um espaço de Hilbert de dimensão infinita e F(H) o conjunto dos operadores de Fredholm em H. O Teorema de Atiyah-Jänich afirma que o families-index é um isomorfismo natural entre o monoide das classes de homotopia das funções de X em F(H) e o grupo K(X). No caso em que X consiste de apenas um ponto, o families-index é o clássico índice de Fredholm, e o Teorema de Atiyah-Jänich afirma que as componentes conexas por caminhos de F(H) são caracterizadas pelo índice de Fredholm. Nesse trabalho, fazemos uma exposição detalhada do Teorema de Atiyah-Jänich, estudando os elementos necessários para entender a construção do K-grupo de um espaço topológico Hausdorff compacto, a definição do families-index e a demonstração de que tal índice é o isomorfismo mencionado.