The aim if this work is twofold. Firstly, we prove the existence of a local foliation around compact infinitesimally rigid capillary surfaces. We then use this fact to show a rigidity result for infinitesimally rigid capillary surfaces in some Riemannian 3-manifolds with mean convex boundary. We also derive bounds on the genus, number of boundary components and area of any compact two-sided capillary minimal surface with low index under certain assumptions on the curvature of the ambient manifold and of its boundary. Secondly, we prove some sharp systolic inequalities for compact 3-manifolds with boundary. They relate the (relative) homological systoles of the manifold to its scalar curvature and mean curvature of the boundary. In the equality case, the universal cover of the manifold is isometric to a cylinder over a disc of nonnegative constant curvature.

Este trabalho tem dois objetivos. Primeiramente, provamos a existência de uma folheação local em torno de superfícies capilares infinitesimalmente rígidas. Usamos então este fato para mostrar um resultado de rigidez para superfícies capilares infinitesimalmente rígidas em algumas variedades Riemannianas de dimensão 3 com bordo convexo em média. Também derivamos cotas para o gênero, número de componentes do bordo e área de qualquer superfície capilar mínima compacta com dois lados e índice baixo sob certas suposições na curvatura do ambiente e na de seu bordo. Em segundo lugar, provamos algumas desigualdades sistólicas ótimas para variedades compactas de dimensão 3 com bordo. Elas relacionam as sístoles homológicas (relativas) da variedade com sua curvatura escalar e curvatura média do bordo. No caso de igualdade, o recobrimento universal da variedade é isométrico a um cilindro sobre um disco de curvatura constante e não negativa.