Com motivação no campo da Teoria Geométrica da Medida, o objetivo neste trabalho é fazer um estudo da teoria de diferenciação de medidas em espaços métricos, discutindo primeiramente teoremas de coberturas relevantes para a referida teoria, com particular destaque para o teorema de cobertura de Besicovitch-Federer em espaços métricos direcionalmente limitados. Daí, para uma certa classe de medidas borelianas em espaços métricos, são investigadas propriedades de diferenciabilidade de uma medida em relação a outra, bem como versões abstratas do teorema fundamental do cálculo nesse contexto. Por último, como aplicação desta teoria, apresentaremos a fórmula da área para aplicações contínuas entre espaços métricos, sob suposições de regularidade mínima.

With motivation in the field of Geometric Theory of Measure, the objective in this work is to study the theory of differentiation of measures in metric spaces. We investigate some covering theorems related to that theory, in particular the Besicovitch-Federers covering theorem on directionally limited metric spaces. For a certain class of Borelian measures on metric spaces, we study the notion of differentiability of a measure with respect to another, as well as abstract versions of the fundamental theorem of calculus in this context. Finally, as an application of this theory, we present the Area Formula for continuous applications between metric spaces, under assumptions of minimal regularity.