A Homologia de Contato Cilíndrica é uma ferramenta essencial no estudo das órbitas de Reeb periódicas. No entanto, pode não estar bem definida devido a alguns problemas de transversalidade envolvendo recobrimento múltiplos de curvas e órbitas com baixo índice. Por exemplo, Hutchings e Nelson provaram que a homologia de contato cilíndrico está bem definida sob a suposição de convexidade dinâmica, ou seja, quando os índices de todas as órbitas de Reeb são de pelo menos 3. Consideramos fluxos de Reeb de formas de contato fracamente convexas, ou seja, formas de contato cujas órbitas Reeb têm um índice de pelo menos 2. O principal obstáculo na definição do operador de fronteira é a presença de alguns buildings indesejáveis que surgem como SFT-limites de uma família de cilindros pseudo-holomorfos de índice de Fredholm 2. Concentramo-nos em buildings com dois níveis. O primeiro nível contém uma curva com um índice de Fredholm negativo e o segundo nível contém um número finito de planos rígidos assintóticos a mesma órbita de Reeb de índice $2$. Usamos a Teoria de Gluing de Hutchings e Taubes para encontrar a continuação da família de cilindros após uma colagem adequada da curva multi-coberta com planos rígidos opostos assintóticos à órbita índice 2. Então a construção do operador diferencial se resume ao caso dinamicamente convexo e a homologia de contato cilíndrico está bem definida. Assumimos que a variedade de contato admite um preenchimento simplético asférico. Esta suposição implica a existência dos planos rígidos opostos requeridos, assintóticos às órbitas de índice 2.

Cylindrical Contact Homology is an essential tool in studying closed Reeb orbits. However, it may not be well-defined due to some transversality problems involving multi-covered curves and low index orbits. For instance, Hutchings and Nelson proved that cylindrical contact homology is well-defined under the dynamical convexity assumption, i.e., when the indices of all Reeb orbits are at least 3. Here, we consider Reeb flows of weakly convex contact forms, i.e., contact forms all whose Reeb orbits have an index of at least 2. The main obstacle in the definition of the boundary operator is the presence of some undesirable buildings that arise as SFT-limits of a family of Fredholm index-2 pseudo-holomorphic cylinders. We focus on buildings with two levels. The first level contains a multi-covered curve with a negative Fredholm index, and the second level contains finitely many rigid planes asymptotic to the same index-2 Reeb orbit. We use Hutchings and Taubes' Gluing Theory to find the continuation of the family of cylinders after a suitable gluing of the multi-covered curve with opposite rigid planes asymptotic to the index-2 orbit. Then the construction of the differential operator boils down to the dynamical convex case, and the cylindrical contact homology is well-defined. We assume that the contact manifold admits an aspherical symplectic filling. This assumption implies the existence of the required opposite rigid planes asymptotic to the index-2 orbits.