Tese de Doutorado

Um operador linear e contínuo $T:C(K)\\longrightarrow C(K)$ é dito uma \\emph{multiplicação fraca} se é da forma $gI+S$, onde $g\\in C(K)$, $I$ é a identidade e $S$ é um operador fracamente compacto, e é dito \\emph{multiplicador fraco} se o operador adjunto $T^\\ast$ em $C(K)^\\ast$ é da forma $gI+S$, onde $g$ é uma função boreliana limitada e $S$ é fracamento compacto. O objetivo desta tese é estudar as propriedades de espaços de Banach da forma $C(K)$ em que todos os operadores são multiplicações fracas ou multiplicadores fracos, especialmente a respeito dos subespaços e quocientes desses espaços. Neste trabalho são apresentadas algumas condições topológicas sobre $K$ relacionadas com a propriedade de $C(K)$ ter poucos operadores e é provada a existência de $C(K)$ indecomponível e contendo operadores que não são multiplicadores fracos. Assumindo Princípio $\\diamondsuit$, construímos $K$ contendo $\\beta \\N$ como subespaço e tal que $C(K)$ tem poucos operadores e contem $2^\\omega$ quocientes indecomponíveis não isomorfos. Sob essa mesma hipótese conjuntística, apresentamos um exemplo de um espaço $C(K)$ contendo operadores não multiplicadores fracos e que $K$ não possui retrações não triviais. Mostramos, também, que $C(K)$ com poucos operadores não pode conter $c_0$ como quociente e, mais do que isso, se $c_0$ é quociente de $C(K)$, o conjunto dos operadores que não são multiplicadores fracos em $C(K)$, acrescidos do operador nulo, contém um subespaço de $\\mathcal(C(K))$ isomorfo a $l_\\infty$.

A bounded linear operator $T:C(K)\\longrightarrow C(K)$ is called a \\emph{weak multiplication} if there is $g \\in C(K)$ such that $T=gI +S$, where $I$ is the identity operator and $S$ is a weakly compact operator, and it is called a \\emph{weak multiplier} if its adjoint operator $T^\\ast$ in $C(K)^\\ast$ can be written in the form $gI+S$, where $g$ is a bounded Borel function and $S$ is a weakly compact operator. The aim of this thesis is to study the Banach spaces $C(K)$ where all bounded linear operators are weak multiplications or weak multipliers, especially in relation to subspaces and quotients of those spaces. In this work, some topological conditions on $K$, related to the property of $C(K)$ having few operators, are given, we also prove that there exists an indecomposable $C(K)$ that have some not weak multipliers operators. We assume axiom $\\diamondsuit$ and construct $K$ that contains an homeomophic copy of $\\beta \\N$ and $C(K)$ has few operators and it contains $2^\\omega$ not isomorphic indecomposable quotients. Under the same set thoretical extra axiom we construct $C(K)$ that has some not weak multiplier operators and $K$ does not have non trivial retractions. Moreover, we prove that if $C(K)$ has few operators, it can not contain $c_0$ as a quotient, and furthermore, if $c_0$ is a quotient of $C(K)$, then the set of all not weak multiplier operators on $C(K)$, together with zero operator, contain a subspace of $\\mathcal(C(K))$ which is isomorphic to $l_\\infty$.