A tese introduz uma generalização do Modelo Duplo Quântico (QDM) utilizando uma estrutura algébrica chamada de Hopf group coálgebra. A nova classe de modelos é chamada de Modelo de Duplo Quântico de Grupo (G-QDM). O modelo QDM é um modelo exatamente solúvel realizado sobre uma rede 2D, obtida discretizando uma superfície orientada. O espaço de Hilbert é expresso por um sistema à muitos corpos, com grãus de liberdade associados às arestas da rede. A dinâmica, dada por um Hamiltoniano local, é construída por operadores agindo sobre primeiros vizinhos. Uma quantidade importante do QDM é a degenerescência do estado fundamental (GSD), que depende da topologia da superfície. Em outras palavras, para o QDM a GSD é um invariante quântico topológico. Mostramos uma nova prova do invariante introduzindo um novo formalismo com diagramas. No G-QDM generalizamos a teoria acrescentando elementos de um grupo finito G às arestas da rede. Isso pode ser interpretado como um campo de gauge externo definido sobre a rede. Ao contrario do QDM, o GSD do G-QDM depende de mais informação que só da topologia da superfície. Nsse caso o GSD é sensível ao campo de gauge externo aplicado na rede. Consequentemente o GSD não é mais um invariante topológico da superfície. No presente trabalho conseguimos demonstrar que o GSD é invariante por transformações locais do campo externo e por difeomorfismos da superfície. Calculamos o invariante numérico em exemplos específicos.

This thesis introduces a generalization of the Quantum Double Model (QDM) using an algebraic structure called Hopf group coalgebra. We called the new class of models Group Quantum Double Model (G-QDM). The QDM is an exactly solvable model realized on a 2D lattice, made by discretizing an oriented surface. The Hilbert space expresses a quantum many body system, with independent degrees of freedom associated to the links of the lattice. The dynamics, given by a Hamiltonian, is constructed from operators acting on first neighbors. One important quantity of the QDM is the ground state degeneracy (GSD), which depends on the topology of the surface. In other words, for the QDM the GSD is a topological quantum invariant. We show a new proof of the invariant using a new diagrammatic formalism. In the G-QDM we generalize the theory by adding to the links of the lattice non-dynamical elements of a finite group G. This is interpreted as an external gauge field defined on the surface. Contrary to the QDM, the GSD of the G-QDM depends on more data than the topology of the surface. In this case the GSD is sensible to the external gauge field applied to the lattice. Therefore GSD is no longer a topological invariant of the surface. In the present work we achieved to show that the GSD in the G-QDM is invariant under local transformations of the external gauge field and under diffeomorphisms of the surface. We calculate the numerical invariant for specific examples.