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Master's Dissertation
DOI
https://doi.org/10.11606/D.43.2020.tde-28052020-142426
Document
Author
Full name
Alisson Cordeiro Alves Tezzin
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Paulo, 2020
Supervisor
Committee
Pedra, Walter Alberto de Siqueira (President)
Cunha, Marcelo de Oliveira Terra
Souza, Edelcio Gonçalves de
Title in Portuguese
Estados de equilíbrio na teoria quântica em topoi
Keywords in Portuguese
estados de equilíbrio
lógica intuicionista
Mecânica estatística quântica
teoria de topoi
teoria quântica em topoi
Abstract in Portuguese
Nessa dissertação buscamos caracterizar estados de equilíbrio termodinâmico na formulação contravariante da teoria quântica em topoi. Como esse tipo de abordagem à teoria quântica é relativamente novo, procuramos também fazer uma exposição autocontida - ao menos do ponto de vista matemático - dos elementos principais desta. Em relação ao equilíbrio termodinâmico estudamos duas propriedades fundamentais: invariância com respeito à evolução temporal e a condição KMS. Caracterizamos a invariância temporal através das medidas definidas no pré-feixe espectral; mais precisamente, determinamos uma condição que é satisfeita por uma medida se, e somente se, o estado ao qual ela está associada é invariante. Essa caracterização se justifica pois tais medidas constituem uma das tentativas de se introduzir uma noção satisfatória de estado na teoria quântica em topoi. Não conseguimos, porém, caracterizar a condição KMS através dessas medidas e apresentamos argumentos que indicam que fazer isso, ao menos da maneira que tentamos, não é possível. Estudamo-la, então, através da noção de pseudoestado, que constitui outra tentativa de se definir estado na teoria. Para caracterizar a condição KMS introduzimos o conceito de topos associado a um estado e mostramos que no topos de qualquer estado existem ao menos duas proposições (subobjetos clopen do pré-feixe espectral) que são verdadeiras (no sentido do pseudoestado) se, e só se, o estado é KMS. Uma dessas proposições não é determinada pela daseinização de um projetor, e portanto isso pode ser entendido como uma maneira de se atribuir significado físico a uma proposição que não está na interpretação da linguagem PL(S)
Title in English
Equilibrium states on the topos approach to quantum mechanics
Keywords in English
equilibrium states
intuitionistic logic
Quantum statistical mechanics
topos quantum theory
topos theory
Abstract in English
The main purpose of this work was to study equilibrium states in the topos approach to quantum theory. This is a relatively new approach to quantum theory then we also tried to present it in a self-contained way - at least from a mathematical point of view. Concerning equilibrium, we focused on two features: time translation invariance (stationary states) and the KMS condition. We characterize invariant states (in particular stationary states) by means of the so called measures on the spectral presheaf. We couldnt do the same for the KMS condition and, as argued in this work, we think that there are good reasons to believe that it is not possible. Then, we studied the KMS condition using pseudo-states. For this purpose we introduced the idea of a topos associated to a state and proved that in the topos of any state there are at least two propositions (clopen subobjects of the spectral presheaf) which are true (in the sense of the pseudo-state) if, and only if, the state is KMS. One of these propositions is not of the kind daseinization of a projector and it can be seen as a way of giving physical meaning to a proposition which is not in the interpretation of the PL(S) language.
 
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MasterThesis.pdf (1.45 Mbytes)
Publishing Date
2020-06-23
 
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