A equação de Gross-Pitaevskii é uma forma não linear da equação de Schrödinger que descreve sistemas de muitos bósons no campo médio. A não linearidade torna essa equa- ção extremamente complexa de resolver de forma analítica, sendo necessário recorrer a ferramentas numéricas. Um condensado de Bose-Einstein possui a propriedade de ser um superfluido e por- tanto apresenta várias características e fenômenos análogos aos observados em fluidos clássicos. Uma dessas características é uma excitação topológica de vórtice quântico, cuja diferença para a contraparte clássica é a quantização da carga do vórtice. Vórtices que se unem e formam uma linha de vórtices são conhecidos como filamentos de vórtice. Um filamento de vórtice que se feche em si mesmo recebe o nome de anel de vórtice. Anéis de vórtice clássicos e quânticos tem a possibilidade de executar um movimento conhecido como leapfrogging. Dados dois anéis de vórtice coaxiais que andam na mesma direção, o anel que tem um raio maior se propaga com uma velocidade maior que o de raio menor. Naturalmente, conforme os anéis se propagam, o que está na frente vai tendo seu raio aumentado e o de trás o raio reduzido, dessa forma a velocidade do que está atrás aumenta e esse ultrapassa o primeiro. Este movimento tem a tendência de ir se realizando repetidamente. O foco desse trabalho é compreender o fenômeno de leapfrogging, a princípio com uma abordagem clássica e depois com uma abordagem quântica, para depois estudar a esta- bilidade de anéis de vórtice que realizam este movimento. Para isso é necessário primeiro entender os fundamentos da condensação de Bose-Einstein e de sua abordagem em campo médio, tal como as equações clássicas que descrevem o movimento de vórtices. Também é necessário o desenvolvimento de ferramentas numéricas para abordar problemas que não possuem solução conhecida ou são impossíveis de se resolver de forma analítica.

The Gross-Pitaevskii equation is a nonlinear form of the Schrödinger equation that de- scribes systems of many bosons in the mean field. The Nonlinearity makes this equation extremely complex to be solved analytically, being necessary to use numerical tools. A Bose-Einstein condensate has the property of being a superfluid and therefore it both presents several characteristics and phenomena analogous to those observed in clas- sical fluids .One such feature is a topological quantum vortex excitation, whose difference to the classical counterpart is the quantization of the vortex charge. Vortices that come together and form a line of vortices are known as vortex filaments. A self-closing vortex filament is called a vortex ring. Classical and quantum vortex rings have the possibility to perform a movement known as leapfrogging. Given two coaxial vortex rings that travel in the same direction, the ring that has a larger radius propagates with a velocity greater than that of smaller radius. Naturally, as the rings propagate, the one at the front gets its radius increased and the one behind the radius reduced, in this way the speed of what is behind it increases and it overtakes the first. This movement has the tendency to go if performing repeatedly. The focus of this work is to understand the phenomenon of leapfrogging, at first with a classical approach and then with a quantum approach, to then study the stability of vortex rings that carry out this movement. For this it is necessary first understand the fundamentals of Bose-Einstein condensation and its meand field approach, just like the classical equations describing the motion of vortices. It is also necessary to develop numerical tools to address problems that do not have a known solution or are impossible to solve analytically