Neste trabalho consideramos o modelo do gás de Coulomb de uma espécie, em que as interações foram substituidas por uma decomposição binária com aproximação hierárquica entre os subcubos, para $n$ partículas em um hipercubo unitário de $d$ dimensões. Investigamos o sistema de $n$ partículas em um regime assintótico para $n$ grande no contexto dos grupos de renormalização e procuramos um ponto fixo, da forma $V(n,\beta)e^{-r(\beta)(n-\bar{n})^2+b(\beta)(n-\bar{n})}$ para as equações encontradas, onde $\bar{n}$ denota o número de partículas de um estado fundamental e $V$ é uma função periódica, com período $2^d$. Com as análises feitas encontramos uma equação que relaciona as escalas do modelo por uma convolução \begin{equation*} \tilde{M}_n=\sum_{m_1=-\infty}^{\infty}\sum_{m_2=-\infty}^{\infty}\cdots\sum_{m_{k-1}=-\infty}^{\infty}e^{-r(\beta')\left((n-m_1)^2+\sum_{i=1}^{k-2}(m_i-m_{i+1})^2+m_{k-1}^2ight)}. \end{equation*} Essa convolução tem um caráter oscilatório, que podemos observar aplicando a fórmula de Poisson nas convoluções, resultando em\begin{equation*} \tilde{M}_n=\sqrt{\frac{(\pi/r(\beta'))^{k-1}}{k}}\sum_{\xi\in\mathbb{Z}^{k-1}}e^{-\frac{\pi^2}{r}(\xi,\tilde{J}_{k-1}^{-1}\xi)}e^{-2\pi i (n-\alpha)\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{k}\xi_j}. \end{equation*} Exploramos também o comportamento de um ponto fixo gaussiano, mostrando que nessa classe de funções ele é estável.

In the following work, we consider the single-species Coulomb gas, in which the particle interactions are substituted by a binary hierarchical approximation of subcubes, for $n$ particles in a $d$-dimensional hypercube. We investigate the $n$ particle system for the asymptotic regime (large $n$), in the context of renormalization groups. We look for fixed points of the form $V(n,\beta)e^{-r(\beta)(n-\bar{n})^2+b(\beta)(n-\bar{n})}$ for the renormalization group equations, where $\bar{n}$ stands for the number of particles in a ground state and $V$ is a periodic function, with period $2^d$. The analysis leads to an equation, which relates subsequent scales of the problem by convolutions \begin{equation*} \tilde{M}_n=\sum_{m_1=-\infty}^{\infty}\sum_{m_2=-\infty}^{\infty}\cdots\sum_{m_{k-1}=-\infty}^{\infty}e^{-r(\beta')\left((n-m_1)^2+\sum_{i=1}^{k-2}(m_i-m_{i+1})^2+m_{k-1}^2ight)}. \end{equation*} This convolution behaves as an oscillation. We can observe it by applying the Poisson summation formula and obtaining\begin{equation*} \tilde{M}_n=\sqrt{\frac{(\pi/r(\beta'))^{k-1}}{k}}\sum_{\xi\in\mathbb{Z}^{k-1}}e^{-\frac{\pi^2}{r}(\xi,\tilde{J}_{k-1}^{-1}\xi)}e^{-2\pi i (n-\alpha)\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{k}\xi_j}. \end{equation*} We also explore the behaviour of a gaussian fixed point, and show that they are stable in this class of functions.