This thesis focuses on the study of the thermodynamics of fermionic systems on lattices, from the point of view of the C*-algebraic formulation of quantum mechanics, and on the application of the so-called "catastrophe theory" to the analysis of the phase diagram of an explicit fermionic model. The first chapter is devoted to the introduction of some of the basic and most important properties of C*-algebras, and also to the study of its representations and its set of states. The second chapter is devoted to the development of some important results of catastrophe theory. The results derived in the chapter allows one to analyze the behavior of the minima of members of a family of functions around a degenerate critical point, and they will be used to study the behavior of the thermodynamic pressure for a given fermionic lattice model. The third chapter presents some of the formalism developed in [4], that concerns the existence of the thermodynamics and equilibrium states of lattice fermi systems subject to a suitable set of long-range interactions (i.e., interactions containing mean-field terms). Finally, in the last chapter, using all the formalisms and results already studied in the previous chapters, the thermodynamics of an explicit BCS-like model is analyzed. With the help of catastrophe theory, it is shown that such model exhibits a coexistence of magnetic and superconducting phases for a suitable choice of parameters, and through a perturbative analysis it is also shown that the coexistence still holds when a small kinetic term is added into the model.

Esta dissertação se concentra no estudo da termodinâmica de sistemas fermiônicos em rede, pelo ponto de vista da formulação de álgebra C* da mecânica quântica, e na aplicação da chamada "teoria de catástrofe" para a análise do diagrama de fases de um modelo fermiônico explicito. O primeiro capítulo é dedicado à introdução de algumas propriedades básicas e mais importantes das álgebras C*, e ao estudo de suas representações e de seu conjunto de estados. O segundo capítulo é dedicado ao desenvolvimento de alguns resultados importantes relacionados à teoria de catástrofe. Os resultados obtidos no capítulo permitem a análise do comportamento dos mínimos de membros de uma família de funções em torno de um ponto crítico degenerado, e eles serão utilizados para o estudo do comportamento da pressão termodinâmica para um dado sistema fermiônico. O terceiro capítulo apresenta o formalismo desenvolvido em [4], que está relacionado à existência da termodinâmica e de estados de equilíbrio em sistemas fermiônicos em rede sujeitos à certas interações de longo-alcance (i.e., interações contendo termos de campo médio). Por fim, no último capítulo, utilizando-se de todos os resultados estudados nos capítulos anteriores, a termodinâmica de um modelo explícito do tipo BCS é analizada. Com a ajuda da teoria de catástrofe, é provado que tal modelo apresenta uma coexistência de fases magnéticas e supercondutoras para uma escolha adequada de parâmetros, e através de uma análise perturbativa é mostrado também que a coexistência ainda persiste quando um pequeno termo cinético é adicionado no modelo.