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Tese de Doutorado
DOI
Documento
Autor
Nome completo
Matheus Hansen Francisco
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2019
Orientador
Banca examinadora
Leonel, Edson Denis (Presidente)
Barreiro, Luiz Antonio
Oliveira, Mario Jose de
Rech, Paulo Cesar
Souza, Silvio Luiz Thomaz de
Título em português
Propriedades Estatísticas e Termodinâmicas de Bilhares Clássicos
Palavras-chave em português
Bilhares Clássicos
Caos
Sistemas Dinâmicos
Termodinâmica.
Resumo em português
Neste trabalho, apresentamos resultados para um sistema dinâmico denominado como bilhar, que descreve a dinâmica de uma partícula de massa m, livre da influência de qualquer potencial externo, no interior de uma região delimitada por uma fronteira que pode ser estática ou móvel. A partícula é lançada de uma determinada posição no interior do bilhar, de modo a sofrer colisões elásticas ou inelásticas com a fronteira do modelo. Após a ocorrência de uma colisão, a partícula sofre uma reflexão especular com a fronteira, de modo que seu ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Para o caso em que as colisões são elásticas e a fronteira estática, o módulo da velocidade da partícula permanece constante ao longo de todas as colisões, entretanto, se uma perturbação temporal for introduzida na fronteira do sistema, é permitida a variação no módulo da velocidade da partícula durante o impacto. Nesta tese, vamos estudar a dinâmica de um ensemble de partículas não-interagentes em um bilhar ovóide sob duas configurações diferentes. Inicialmente, a fronteira será assumida como estática e a partir de um mapeamento bidimensional que descreve a dinâmica do sistema, demonstramos que para esse tipo de bilhar o espaço de fases é do tipo misto, onde pode ser observado a coexistência de um mar de caos, ilhas de estabilidade e um conjunto de curvas invariantes do tipo spanning. Ainda para esse caso, introduzimos orifícios ao longo da fronteira do bilhar para estudar o comportamento do escape das partículas, via análise da probabilidade de sobrevivência P(n) que um conjunto de partículas no interior do sistema exibe, conforme o número de colisões n é aumentado. Através de simulações numéricas, verificamos que P(n) decai em média de forma exponencial com um expoente de decaimento dado aproximadamente pela razão entre a extensão do orifício h e o comprimento total da fronteira do bilhar. Ao longo deste estudo, observamos que devido a natureza mista do espaço de fases, existem regiões preferenciais para a visitação de partículas, o que pode fornecer pistas para a verificação da maximização ou minimização do escape no sistema. Posterior a isso, introduzimos uma perturbação temporal na fronteira do bilhar ovóide, e descrevemos todas as equações necessárias para a obtenção do mapeamento quadrimensional não-linear, que reproduzirá o movimento de uma partícula no interior do modelo com fronteiras oscilantes. O objetivo dessa análise, é a verificação da difusão ilimitada de energia por parte das partículas, conhecido como Aceleração de Fermi. Além de discutir todo o mecanismo envolvido nesse fenômeno, também analisamos formas possíveis para provocar a supressão desse crescimento ilimitado de energia exibido pelas partículas. Por último, propomos uma conexão entre os resultados referentes ao bilhar ovóide dependente do tempo com conceitos ligados à Termodinâmica.
Título em inglês
Statistical and Thermodynamical Properties of Classical Billiards
Palavras-chave em inglês
Chaos
Classical Billiards
Dynamical Systems
Thermodynamics.
Resumo em inglês
In this work, we present some results for a dynamical system denoted as a billiard that describes the dynamics of a free particle of mass m inside of a region delimited by a boundary that might be static or time-dependent. The particle is launched from a region inside of the billiard and can experiences either elastic or inelastic collisions with the boundary. After a collision, the particle exhibits a specular reflection with the border, in such way that the incidence angle is equal to the reflected angle. When elastic collisions are taken into account the speed of the particle remains constant along all collisions. When a time-dependence is introduced on the boundary, then the particle may gain or lose energy upon collision. In this thesis, we will study the dynamics of an ensemble of non-interacting particles inside an oval billiard, under two different configurations. Initially, the boundary is considered as static and via a two-dimensional and nonlinear mapping, the dynamics of each particle is investigated. We show that for the static case the phase space is of mixing type with the coexistence of a chaotic sea, stability islands and a set of invariant spanning curves over the phase space. We then introduce holes along the boundary of the billiard allowing the particles to escape through them. We analyze the survivor probability P(n) that an ensemble of particles exhibits inside of the billiard as a function of n. Our results show that P(n) decays in average exponentially with a decay exponent given approximately by the size of the hole h over the total length of the boundary. Along this study, we observed that, due to the mixing structure of the phase space, there are preferential regions for the visitation of particles, which might be useful for the verification of the maximization or minimizations of the escape in the system. After that, we introduced a time-dependence on the boundary of the oval billiard and describe all the equations to obtained the nonlinear four-dimensional mapping used to reproduce the movement of particle inside of the billiard. The main goal of this analysis is the verification of the unlimited diffusion of energy from the particles, known as Fermi Acceleration. We discuss all the mechanism involved in such a phenomenon and discuss possibilities to promote the suppression of the unlimited energy growth in the billiard. Finally, we discuss a possible connection of the time-dependent oval billiard with concepts linked with Thermodynamics.
 
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Data de Publicação
2019-09-13
 
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