Neste texto são propostos algoritmos de filtragem adaptativa de baixo custo computacional para o processamento de sinais lineares no sentido amplo e para beamforming. Novas técnicas de filtragem adaptativa com baixo custo computacional são desenvolvidas para o processamento de sinais lineares no sentido amplo, representados por números complexos ou por quaternions. Os algoritmos propostos evitam a redundância de estatísticas de segunda ordem na matriz de auto correlação, o que é obtido por meio da substituição do vetor de dados original por um vetor de dados real contendo as mesmas informações. Dessa forma, evitam-se muitas operações entre números complexos (ou entre quaternions), que são substituídas por operações entre reais e números complexos (ou entre reais e quaternions), de menor custo computacional. Análises na media e na variância para qualquer algoritmo de quaternions baseados na técnica least-mean squares (LMS) são desenvolvidas. Também é obtido o algoritmo de quaternions baseado no LMS e com vetor de entrada real de mais rápida convergência. Uma nova versão estável e de baixo custo computacional do algoritmo recursive least squares (RLS) amplamente linear também é desenvolvida neste texto. A técnica é modificada para usar o método do dichotomous coordinate descent (DCD), resultando em uma abordagem de custo computacional linear em relação ao comprimento N do vetor de entrada (enquanto o algoritmo original possui custo computacional quadrático em N). Para aplicações em beamforming, são desenvolvidas novas técnicas baseadas no algoritmo adaptive re-weighting homotopy. As novas técnicas são aplicadas para arrays em que o número de fontes é menor do que o número de sensores, tal que a matriz de auto correlação se torna mal-condicionada. O algoritmo DCD é usado para obter uma redução adicional do custo computacional.

In this text, low-cost adaptive filtering techniques are proposed for widely-linear processing and beamforming applications. New reduced-complexity versions of widely-linear adaptive filters are proposed for complex and quaternion processing. The low-cost techniques avoid redundant secondorder statistics in the autocorrelation matrix, which is obtained replacing the original widely-linear data vector by a real vector with the same information. Using this approach, many complex-complex (or quaternion-quaternion) operations are substituted by less costly real-complex (or real-quaternion) computations in the algorithms. An analysis in the mean and in the variance is performed for quaternion-based techniques, suitable for any quaternion least-mean squares (LMS) algorithm. The fastest-converging widely-linear quaternion LMS algorithm with real-valued input is obtained. For complex-valued processing, a low-cost and stable version of the widely-linear recursive least-squares (RLS) algorithm is also developed. The widely-linear RLS technique is modified to apply the dichotomous coordinate descent (DCD) method, which leads to an algorithm with computational complexity linear on the data vector length N (in opposition to the original WL technique, for which the complexity is quadratic in N). New complex-valued techniques based on the adaptive re-weighting homotopy algorithm are developed for beamforming. The algorithms are applied to sensor arrays in which the number of interferer sources is less than the number of sensors, so that the autocorrelation matrix is ill-conditioned. DCD iterations are applied to further reduce the computational complexity.