Esta tese apresenta um novo modelo para dois algoritmos para filtragem adaptativa baseados em momentos de quarta ordem: o least-mean fourth (LMF) e o least-mean mixed-norm (LMMN). A originalidade do modelo apresentado aqui é que não se procura calcular a média quadrática do erro de estimação do algoritmo, mas sim a probabilidade do algoritmo ter um comportamento razoável (neste caso, convergir). O trabalho mostra que o LMF e o LMMN não são estáveis na média quadrática se o regressor não for estritamente limitado (como ocorre, por exemplo, para a distribuição Gaussiana). Mesmo para a distribuição Gaussiana o LMF e o LMMN sempre têm uma probabilidade não nula de divergir, não importa quão pequeno seja o passo de adaptação. Esse resultado é demonstrado para um filtro escalar (com um único coeficiente) com regressor com uma distribuição normal modificada, e verificado através de várias simulações. Além disso, é fornecido um limite superior para a probabilidade de divergência do LMF (e do LMMN), em função do comprimento do filtro, da potência dos sinais de entrada, do passo de adaptação, da variância do erro ótimo, para o caso de regressores Gaussianos. Os resultados apresentados aqui fornecem ferramentas para projetistas entenderem melhor o funcionamento do algoritmo LMF, e decidir quando é ou não conveniente o seu uso para uma dada aplicação.

This dissertation presents a new model for two adaptive filtering algorithms based on fourth-order moments: the least-mean fourth (LMF) and the least-mean mixed-norm (LMMN) algorithms. The novelty of the new model is its emphasis on computing the probability of a reasonable performance of a single realization of the algorithm (in this case, convergence), instead of looking for average performance indices such as mean-square error. We show that the least-mean fourth (LMF) adaptive algorithm is not mean-square stable when the regressor input is not strictly bounded (as happens, for example, if the input has a Gaussian distribution). For input distributions with infinite support, even for the Gaussian distribution, the LMF has always a nonzero probability of divergence, no matter how small the step-size is chosen. We prove this result for a slight modification of the Gaussian distribution in an one-tap filter, and corroborate our findings with several simulations. In addition, we give an upper bound for the probability of divergence of LMF as a function of the filter length, input power, step-size, and noise variance, for the case of Gaussian regressors. Our results provide tools for designers to better understand the behavior of the LMF algorithm, and decide on the convenience or not of its use for a given application.