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Habilitation Thesis
DOI
10.11606/T.18.2010.tde-26042010-100000
Document
Author
Full name
Luís Fernando Costa Alberto
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
São Carlos, 2006
Committee
Bretas, Newton Geraldo (President)
Altafim, Ruy Alberto Correa
Falcão, Djalma Mosqueira
Hsu, Liu
Silva, Aguinaldo Silveira e
Title in Portuguese
Caracterização e estimativas da área de atração de sistemas dinâmicos não lineares.
Keywords in Portuguese
Área de atração
Bacia de atração
Estabilidade
Função energia
Função energia generalizada
Sistemas complexos
Sistemas dinâmicos
Sistemas singularmente perturbados
Abstract in Portuguese
Atratores de sistemas dinâmicos autônomos não-lineares usualmente não são globalmente estáveis. Na maioria dos casos, existe um subconjunto de condições iniciais, chamado área de atração, cujas trajetórias, iniciando dentro deste conjunto, tendem para o atrator quando o tempo tende ao infinito. Caracterizar este conjunto e propor metodologias para estimá-lo é o principal objetivo desta tese. Funções energia podem fornecer informações importantes a respeito dos conjuntos limites assim como da área de atração de conjuntos atrativos de sistemas dinâmicos não lineares. Infelizmente, muitos sistemas físicos não possuem função energia ou ainda, quando possuem, é difícil expressá-la analiticamente em termos de funções elementares. As condutâncias de transferência em sistemas elétricos de potência, por exemplo, podem dar origem a ciclos limites na fronteira da área de atração impossibilitando estes sistemas de possuírem uma função energia geral. Nesta tese, generaliza-se o conceito de função energia e estudam-se as implicações desta generalização em termos dos conjuntos limites e estimativas da área de atração. A generalização da função energia proposta nesta tese acomoda a existência de conjuntos limites complexos, tais como ciclos limites e órbitas caóticas, na fronteira da área de atração. Com isto, uma classe maior de problemas pode ser estudada via funções do tipo energia. Aplica-se esta generalização à estimativa da área de atração de um sistema elétrico de potência com condutância de transferência. Além desta generalização, apresentam-se resultados parciais relacionados a caracteriza ção da fronteira da área de atração de sistemas singularmente perturbados. O objetivo destes resultados é decompor as metodologias computacionais de estimativa da área de atração e análise de estabilidade em duas fases: uma de dinâmicas rápidas e outra de dinâmicas lentas. Usualmente, se as propriedades de diferentes escalas de tempo dos sistemas singularmente perturbados não são levadas em consideração, então problemas de natureza numérica e analítica são frequentemente encontrados. Com esta decomposição espera-se obter métodos computacionais de análise de estabilidade de sistemas singularmente perturbados mais rápidos e mais robustos assim como obter estimativas menos conservadoras da área de atração.
Title in English
Characterization and estimates of the basin of attraction of nonlinear dynamical systems.
Keywords in English
Basin of attraction
Complex systems
Dynamical systems
Energy function
Generalized energy function
Singularly perturbed systems
Stability
Stability region
Abstract in English
Usually, attractive sets of autonomous nonlinear dynamical systems are not globally stable. In most of the cases, there exists a set of initial conditions, called stability region, whose trajectories, starting inside this set, converge to the attractive set when time goes to infinity. The characterization of this set and the proposal of new methodologies to estimate it are the main aims of this thesis. Energy functions can provide important information regarding the composition of limit sets as well as estimates of the stability region of attractive sets of nonlinear dynamical systems. Unfortunately, many physical systems do not possess energy functions and even when they exist, it is usually impossible to represent it by a close analytical form. The transfer conductances in power system models, for example, can give origin to limit cycles on the stability region boundary. The existence of limit cycles prevents the system of having a general energy function. In this thesis, the concept of energy function is generalized and its implications in terms of limit sets and attraction area estimates are studied. The proposed generalization allows the existence of complex dynamical behavior, like limit cycles and chaotic orbits, on the boundary of the stability region. As a consequence, a larger class of dynamical systems can be studied via energy-like function theory. The proposed theory is applied to estimate the stability region of a power system taking into account the transfer conductances in the model. Beyond this generalization, some partial results regarding the characterization of the stability region of singularly perturbed systems is presented. The main aim of these results is the decomposition of the computational tools to estimate the stability region in two phases: the fast and the slow dynamic phases. Usually, if the time-scale properties of singularly perturbed systems are not taken into account, then several numerical and analytical problems may arise. Using the decomposition, we hope to improve the robustness and velocity of numerical tools for stability analysis of singularly perturbed systems and to obtain less conservative stability region estimates.
 
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Publishing Date
2010-04-26
 
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