As não-linearidades de ordem fracionária estão presentes em diversos problemas de engenharia envolvendo vibrações mecânicas, acústica, impacto, dispositivos eletro-mecânicos, entre outros. Um tipo de problema especial é o estudo de vibrações em osciladores não-ideais. Geralmente, nesse tipo de problema aparece o efeito Sommerfeld que se caracteriza pela existência de um salto em amplitude e em frequência durante a operação do sistema. No presente trabalho objetiva-se estudar o processo de colisão de osciladores mecânicos não-ideais com não-linearidades de ordem fracionária. As não-linearidades racionais aparecem nos modelos de contato e, também, nas características elásticas dos materiais do oscilador mecânico. Para a delimitação desse problema esta tese apresenta, além da introdução, da revisão bibliográfica e das conclusões, três capítulos principais de desenvolvimento. O capítulo 3 trata da formulação de soluções aproximadas na forma trigonométrica para problemas de vibração livre em sistemas conservativos com não-linearidades fracionárias. No capítulo 4 são detalhados os modelos de contato baseados na teoria de Hertz. O capítulo 5 apresenta um problema de um oscilador mecânico não-ideal e não-linear colidindo em uma parede rígida. Para o desenvolvimento deste trabalho foram criados diversos códigos computacionais e os resultados obtidos com as soluções aproximadas propostas concordam com os obtidos numericamente. A formulação e a análise realizadas nesta tese constituem uma ferramenta de pesquisa para o desenvolvimento de trabalhos futuros como o estudo do efeito Sommerfeld experimentalmente, entre outros problemas.

The non-linearities of fractional order are present in several engineering problems involving mechanical vibration, acoustics, impact, electro-mechanical devices, among others. A particular type of problem is the study of vibrations in non-ideal oscillators. In this kind of problem it is common to observe the Sommerfeld effect, that is characterized by the existence of a jump in amplitude and frequency during the operation of the system. In the present work we aim to study the collision process of non-ideal mechanical oscillators with non-linearities of fractional order. The rational nonlinearities occur in the contact models and also in the elastic characteristics of the materials of the mechanical oscillator. For the delimitation of this problem, this thesis presents, besides the introduction, the literature review and the conclusions, three main chapters. Chapter 3 deals with the formulation of approximate trigonometric solutions for free vibration problems in conservative systems with rational nonlinearities. In chapter 4 the contact models are detailed based on Hertz's theory. Chapter 5 presents a problem of a non-ideal and non-linear mechanical oscillator colliding in a rigid wall. For the development of this work several computational codes have been created and the results obtained, with the proposed approximate solutions, agree with those obtained numerically. The formulation and the analysis carried out in this thesis constitute a research tool for the development of future works such as the study of the Sommerfeld effect experimentally, among other problems.