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Master's Dissertation
DOI
10.11606/D.59.2006.tde-02022007-115428
Document
Author
Full name
Rodrigo Silva Gonzalez
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
Ribeirão Preto, 2006
Supervisor
Committee
Martinez, Alexandre Souto (President)
Alves, Nelson Augusto
Ramos, Fernando Manuel
Title in Portuguese
Difusão anômala: transição entre os regimes localizado e estendido na caminhada do turista unidimensional
Keywords in Portuguese
caminhada determinista
caminhada do turista
difusão anômala
meios aleatórios
percolação
Abstract in Portuguese
Considere um meio desordenado formado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de $d$ dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\mu$ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de $t$ pontos, e uma parte final cíclica de $p$ pontos. A exploração do meio se limita aos $t+p$ pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória $\mu$ do viajante. Para valores pequenos de $\mu$ a exploração é altamente localizada e o sistema não é satisfatoriamente explorado. Já para $\mu$ da ordem de $N$, aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudo é determinar o valor de memória $\mu_1$ para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário que é atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que $\mu_1 = \log_2 N$. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura $\varepsilon = e/ \ln 2$ constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para $\mu$ distante de $\mu_1$, a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para $\mu$ próximo de $\mu_1$ (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições $q$-gaussianas e distribuições $\alpha$-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro $q$ funciona como parâmetro de ordem da transição.
Title in English
Anomalous Diffusion: Transition between the Localized and Extended Regimes in the One Dimensional Tourist Walk
Keywords in English
anomalous diffusion
deterministic walk
percolation
random media
tourist walk
Abstract in English
Consider a disordered medium formed by $N$ point whose coordinates are randomly generated with uniform probability along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker, starting to walk from any point of that medium, moves following the deterministic rule of always going to the nearest point that has not been visited in the last $\mu$ steps. This dynamic of moving, called deterministic tourist walk, leads to trajectories formed by a initial transient part of $t$ points and a final cycle of $p$ points. The exploration of the medium is limited to the $t+p$ points covered. The success of the exploration depends on the traveler's memory value $\mu$. For small values of $\mu$, the exploration is highly localized and the whole system remains unexplored. For values of $\mu$ of the order of $N$, however, long cycles appear, allowing global exploration of the medium. The objective of this study is to determine the memory value $\mu_1$ for which a sharp transition in the exploratory behavior of the tourist in one-dimensional media occurs. We also want to understand the distribution of the final position of the tourist after reaches a steady state in exploring the medium. That steady state is reached when the tourist is trapped in cycles. The results achieved by numerical simulations and analytical treatment has shown that $\mu_1 = \log_2 N$. The study has also shown the existence of a transition region, with a constant width of $\varepsilon = e/ \ln 2$, characterizing a phase transition in the exploratory behavior of the tourist in one dimension. The analysis of the walk steady state as a function of the memory has shown that for $\mu$ far from $\mu_1$, the exploratory dynamic follows a traditional diffusion process (with gaussian distribution). In the other hand, for $\mu$ near $\mu_1$ (transition region), the dynamic follows a non-linear superdiffusion process, characterized by $q$-gaussian distributions and Lèvy $\alpha$-stable distributions. In this process, the parameter $q$ plays the role of a transition order parameter.
 
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DissertRodrigo.pdf (1.80 Mbytes)
Publishing Date
2007-03-01
 
WARNING: The material described below relates to works resulting from this thesis or dissertation. The contents of these works are the author's responsibility.
  • TERçARIOL, César, GONZáLEZ, Rodrigo, and MARTINEZ, Alexandre. Analytical calculation for the percolation crossover in deterministic partially self-avoiding walks in one-dimensional random media [doi:10.1103/PhysRevE.75.061117]. Physical Review E [online], 2007, vol. 75, n. 6.
  • BERBERT, J. M. S., GONZÁLEZ, R. S., and MARTINEZ, A. S. Stochastic tourist walk: analytical approaches, algorithm and numerical results. Journal of Computational Interdisciplinary Sciences, 2008, vol. 1, p. 33-39.
  • TERÇARIOL, C. A. S., et al. Deterministic and random partially self-avoiding walks in random media [doi:10.1016/j.physa.2007.07.019]. Physica. A [online], 2007, vol. 386, p. 678-680.
  • GONZÁLEZ, R. S., e MARTINEZ, A. S. Caminhadas do Turista e do Caixeiro Viajante. In 12 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da Universidade de São Paulo (12 SIICUSP), São Carlos, 2004. Anais do 12 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da Universidade de São Paulo., 2004. Resumo. Dispon?vel em: http://www.usp.br/siicusp/12osiicusp/index_2004.htm.
  • GONZÁLEZ, R. S., KINOUCHI, O., e MARTINEZ, A. S. Caminhada do turista pelas capitais do Brasil. In 11o Simpósio Internacional de Iniciação Científica, São Carlos, 2003. Anais do 11o Simpósio Internacional de Iniciação Científica., 2003. Resumo.
  • GONZÁLEZ, R. S., KINOUCHI, O., e MARTINEZ, A. S. Caminhadas determinísticas em meios desordenados. In 9 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP, São Paulo, 2001. Anais do 9 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP., 2001. Resumo.
  • GONZÁLEZ, R. S., KINOUCHI, O., e MARTINEZ, A. S. Grafo do turista simplificado. In 10 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da Universidade de São Paulo, São Carlos, 2002. Anais do 10 Simpósio Internacional de Iniciação Científica da Universidade de São Paulo., 2002. Resumo. Dispon?vel em: http://www.usp.br/siicusp/10osiicusp/index_2002.htm.
  • HARA, S. H., et al. Formação de Preços de Mercado. In 11o Simpósio Internacional de Iniciação Científica, São Carlos - SP, 2003. Anais do 11o Simpósio Internacional de Iniciação Científica., 2003. Resumo.
  • TERÇARIOL, C. A. S., GONZÁLEZ, R. S., and MARTINEZ, A. S. Exploring random media with partially self-avoiding walks. In 31st Conference of the Middle European Cooperation (MECO 31), Primo ten , Croatia, 2006. Livro de resumos., 2006. Abstract.
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