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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.55.2018.tde-18102018-164352
Documento
Autor
Nome completo
Thiago Trindade Pimentel
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2018
Orientador
Banca examinadora
Federson, Marcia Cristina Anderson Braz (Presidente)
Collegari, Rodolfo
Gadotti, Marta Cilene
Zani, Sergio Luis
Título em português
Construção dos números reais via cortes de Dedekind
Palavras-chave em português
Conjuntos
Cortes de Dedekind
Números Inteiros
Números Naturais
Números Racionais
Números Reais
Partição
Relação de Equivalência
Relação de Ordem
Resumo em português
O objetivo desta dissertação é apresentar a construção dos números reais a partir de cortes de Dedekind. Para isso, vamos estudar os números naturais, os números inteiros, os números racionais e as propriedades envolvidas. Então, a partir dos números racionais, iremos construir o corpo dos números reais e estabelecer suas propriedades. Um corte de Dedekind, assim nomeado em homenagem ao matemático alemão Richard Dedekind, é uma partição dos números racionais em dois conjuntos não vazios A e B em que cada elemento de A é menor do que todos os elementos de B e A não contém um elemento máximo. Se B contiver um elemento mínimo, então o corte representará este elemento mínimo, que é um número racional. Se B não contiver um elemento mínimo, então o corte definirá um único número irracional, que preenche o espaço entre A e B. Desta forma, pode-se construir o conjunto dos números reais a partir dos racionais e estabelecer suas propriedades. Esta dissertação proporcionará aos estudantes do Ensino Médio, interessados em Matemática, uma formação sólida em um de seus pilares, que é o conjunto dos números reais e suas operações algébricas e propriedades. Isso será muito importante para a formação destes alunos e sua atuação educacional.
Título em inglês
Construction of the real numbers via Dedekind cuts
Palavras-chave em inglês
Cuts of Dedekind
Equivalence-relation
Integers
Natural Numbers
Order
Partition
Rational Numbers
Real Numbers
Sets
Resumo em inglês
The purpose of this dissertation is to present the construction of the real numbers from Dedekind cuts. For this, we study the natural numbers, the integers, the rational numbers and some properties involved. Then, based on the rational numbers, we construct the field of the real numbers and establish their properties. A Dedekind cut, named after the German mathematician Richard Dedekind, is a partition of the rational numbers into two non-empty sets A and B, such that each element of A is smaller than all elements of B and A does not contain a maximum element. If B contains a minimum element, then the cut represents this minimum element, which is a rational number. If B does not contain a minimal element, then the cut defines a single irrational number, which "fills the gap" between A and B. In this way, one can construct the set of real numbers from the rationals and establish their properties. This dissertation provides students who like Mathematics a solid basis in one of the pillars of Mathematics, which is the set of real numbers and their algebraic operations and properties. This text will be very important for your educational background and performance.
 
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Data de Publicação
2018-10-18
 
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