Differential systems appear modelling many natural phenomena in different branches of sciences, in biological and physical applications among other areas. Differential systems usually have invariant curves and we can obtain a better description of the qualitative behaviour of their solutions using them. Such invariant curves may be algebraic or not and in the case where they are closed, isolated in the set of periodic orbits and without singular points, they are called limit cycles. There is a very famous problem, proposed by David Hilbert in 1900 what ask about the maximum number of limit cycle that all polynomial differential systems of a given degree could present. In this work we investigate the existence of some invariant curves in quadratic polynomial differential systems and in discontinuous piecewise differential systems (they are known as Filippovs systems). Even after hundreds of studies on the phase portraits of real planar quadratic vector fields the complete characterization of their phase portraits is a quite complex task, they depend on twelve parameters, after affine transformations and time rescaling, we have families with five parameters, which is still a large number. So many subclasses have been considered instead of the complete system. In this work we investigate conditions under the parameters of the system for a planar quadratic differential system present invariant algebraic curve of degree 3 (a cubic curve) and a Darboux invariant and obtain all the topological non-equivalent phase portraits of these systems. The increasing interest in the theory of nonsmooth vector fields has been mainly motivated by their strong relation with physics, engineering, biology, economy, and other branches of sciences. In the study of the Filippovs systems, we investigate the number of periodic orbits that they can present. In this study we apply the averaging theory. Such theory is used to study some classical models and we also present generalization of such technique for a class of nonsmooth systems. In addition, we also show how the LyapunovSchmidt reduction method can be used to consider cases where the averaging theory is not sufficient to study periodic solutions.

Sistemas diferenciais aparecem na modelagem de muitos fenômenos naturais em diferentes ramos da ciência, em aplicações biológicas e físicas, entre outras áreas. Sistemas diferenciais geralmente possuem curvas invariantes e podemos obter uma melhor descrição do comportamento qualitativo de suas soluções utilizando-as. Tais curvas invariantes podem ser algébricas ou não e, no caso de serem fechadas, isoladas no conjunto de órbitas periódicas e sem pontos singulares, são chamadas de ciclos limites. Há um problema muito famoso, proposto por David Hilbert em 1900, que questiona o número máximo de ciclos limites que os sistemas diferenciais polinomiais de um determinado grau poderiam apresentar. Neste trabalho investigamos a existência de algumas curvas invariantes em sistemas diferenciais polinomiais quadráticos e em sistemas diferenciais contínuos por partes (eles são conhecidos como sistemas de Filippov). Mesmo após centenas de estudos sobre os retratos de fase dos campos vetoriais reais planares e quadráticos, a caracterização completa de seus retratos de fase é uma tarefa bastante complexa. Eles dependem de doze parâmetros e após transformações afins e reescalonamento de tempo, temos famílias com cinco parâmetros, o que ainda é um grande número. Assim muitas subclasses tem sido consideradas em vez do sistema completo. Neste trabalho investigamos condições sob os parâmetros do sistema para que um sistema diferencial planar quadrático apresente uma curva algébrica invariante de grau 3 (curva cúbica) e um invariante de Darboux e obtemos todos os retratos de fase não equivalentes destes sistemas. O crescente interesse na teoria dos campos de vetores suaves por partes tem sido motivado, principalmente, por sua forte relação com a física, engenharia, biologia, economia e outros ramos das ciências. No estudo dos sistemas de Filippov, investigamos o número de órbitas periódicas que eles podem apresentar. Para este estudo, aplicamos a teoria do averaging. Tal teoria é usada para estudar alguns modelos clássicos e também apresentamos a generalização de tal técnica para uma classe de sistemas suaves por partes. Além disso, mostramos também como o método de redução de Lyapunov Schmidt pode ser usado para considerar casos em que a teoria do averaging sozinha não é suficiente para estudar soluções periódicas.